協方差矩陣

中心為 (0, 0) 的一個二元高斯概率密度函數，協方差矩陣為 [ 1.00, 0.50 ; 0.50, 1.00 ]。

一個左下右上方向標準差為 3，正交方向標準差為 1 的多元高斯分佈的樣本點。由於 x 和 y 分量共變（即相關），x 與 y 的方差不能完全描述該分佈；箭頭的方向對應的協方差矩陣的特徵向量，其長度為特徵值的平方根。

在統計學與概率論中，協方差矩陣（covariance matrix）是一個方陣，代表着任兩列隨機變量間的協方差，是協方差的直接推廣。

定義

定義 — 
設 $(\Omega ,\,\Sigma ,\,P)$ 是概率空間， $X=\{x_{i}\}_{i=1}^{m}$ 與 $Y=\{y_{i}\}_{j=1}^{n}$ 是定義在 $\Omega$ 上的兩列實數隨機變量序列

若二者對應的期望值分別為：

$E(x_{i})=\int _{\Omega }x_{i}\,dP=\mu _{i}$

$E(y_{j})=\int _{\Omega }y_{j}\,dP=\nu _{j}$

則這兩列隨機變量間的協方差矩陣為：

$\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y):={\left[\,\operatorname {cov} (x_{i},y_{j})\,\right]}_{m\times n}={{\bigg [}\,\operatorname {E} [(x_{i}-\mu _{i})(y_{j}-\nu _{j})]\,{\bigg ]}}_{m\times n}$

將之以矩形表示的話就是：

$\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)={\begin{bmatrix}\operatorname {cov} (x_{1},y_{1})&\operatorname {cov} (x_{1},y_{2})&\cdots &\operatorname {cov} (x_{1},y_{n})\\\operatorname {cov} (x_{2},y_{1})&\operatorname {cov} (x_{2},y_{2})&\cdots &\operatorname {cov} (x_{2},y_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {cov} (x_{m},y_{1})&\operatorname {cov} (x_{m},y_{2})&\cdots &\operatorname {cov} (x_{m},y_{n})\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(x_{1}-\mu _{1})(y_{1}-\nu _{1})]&\mathrm {E} [(x_{1}-\mu _{1})(y_{2}-\nu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(x_{1}-\mu _{1})(y_{n}-\nu _{n})]\\\mathrm {E} [(x_{2}-\mu _{2})(y_{1}-\nu _{1})]&\mathrm {E} [(x_{2}-\mu _{2})(y_{2}-\nu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(x_{2}-\mu _{2})(y_{n}-\nu _{n})]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {E} [(x_{m}-\mu _{m})(y_{1}-\nu _{1})]&\mathrm {E} [(x_{m}-\mu _{m})(y_{2}-\nu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(x_{m}-\mu _{m})(y_{n}-\nu _{n})]\end{bmatrix}}$

根據測度積分的線性性質，協方差矩陣還可以進一步化簡為：

$\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)={\left[\,\operatorname {E} (x_{i}y_{j})-\mu _{i}\nu _{j}\,\right]}_{n\times n}$

矩陣表示法

以上定義所述的隨機變量序列 $X$ 和 $Y$ ，也可分別以用行向量 $\mathbf {X} :={\left[x_{i}\right]}_{m}$ 與 $\mathbf {Y} :={\left[y_{j}\right]}_{n}$ 表示，換句話說：

$\mathbf {X} :={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$ $\mathbf {Y} :={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

這樣的話，對於 $m\times n$ 個定義在 $\Omega$ 上的隨機變量 $a_{ij}$ 所組成的矩陣 $\mathbf {A} ={\left[\,a_{ij}\,\right]}_{m\times n}$ ， 定義：

$\mathrm {E} [\mathbf {A} ]:={\left[\,\operatorname {E} (a_{ij})\,\right]}_{m\times n}$

也就是說

$\mathrm {E} [\mathbf {A} ]:={\begin{bmatrix}\operatorname {E} (a_{11})&\operatorname {E} (a_{12})&\cdots &\operatorname {E} (a_{1n})\\\operatorname {E} (a_{21})&\operatorname {E} (a_{22})&\cdots &\operatorname {E} (a_{2n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (a_{m1})&\operatorname {E} (a_{m2})&\cdots &\operatorname {E} (a_{mn})\end{bmatrix}}$

那上小節定義的協方差矩陣就可以記為：

$\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)=\mathrm {E} \left[\left(\mathbf {X} -\mathrm {E} [\mathbf {X} ]\right)\left(\mathbf {Y} -\mathrm {E} [\mathbf {Y} ]\right)^{\rm {T}}\right]$

所以協方差矩陣也可對 $\mathbf {X}$ 與 $\mathbf {Y}$ 來定義：

$\operatorname {\mathbf {cov} } (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ):=\mathrm {E} \left[\left(\mathbf {X} -\mathrm {E} [\mathbf {X} ]\right)\left(\mathbf {Y} -\mathrm {E} [\mathbf {Y} ]\right)^{\rm {T}}\right]$

術語與符號分歧

也有人把以下的 $\mathbf {\Sigma } _{X}$ 稱為協方差矩陣：

${\begin{aligned}\mathbf {\Sigma } _{X}&:={\left[\operatorname {cov} (x_{i},x_{j})\right]}_{m\times m}\\&=\operatorname {\mathbf {cov} } (X,X)\end{aligned}}$

但本頁面沿用威廉·費勒的說法，把 $\mathbf {\Sigma } _{X}$ 稱為 $X$ 的方差（variance of random vector），來跟 $\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)$ 作區別。這是因為：

$\operatorname {cov} (x_{i},x_{i})=\operatorname {E} [{(x_{i}-\mu _{i})}^{2}]=\operatorname {var} (x_{i})$

換句話說， $\mathbf {\Sigma } _{X}$ 的對角線由隨機變量 $x_{i}$ 的方差所組成。據此，也有人也把 $\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)$ 稱為方差-協方差矩陣（variance–covariance matrix）。

更有人因為方差和離差的相關性，含混的將 $\operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y)$ 稱為離差矩陣。

性質

$\mathbf {\Sigma } =\operatorname {\mathbf {cov} } (X,X)$ 有以下的基本性質：

1. $\mathbf {\Sigma } =\mathrm {E} (\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T})-\mathrm {E} (\mathbf {X} ){[\mathrm {E} (\mathbf {X} )]}^{T}$
2. $\mathbf {\Sigma }$是半正定的和對稱的矩陣。
3. $\operatorname {var} (\mathbf {a^{T}} \mathbf {X} )=\mathbf {a^{T}} \operatorname {var} (\mathbf {X} )\mathbf {a}$
4. $\mathbf {\Sigma } \geq 0$
5. $\operatorname {var} (\mathbf {AX} +\mathbf {a} )=\mathbf {A} \operatorname {var} (\mathbf {X} )\mathbf {A^{T}}$
6. $\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )^{T}$
7. $\operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} +\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} ,\mathbf {Y} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )$
8. 若 $p=q$，則有$\operatorname {var} (\mathbf {X} +\mathbf {Y} )=\operatorname {var} (\mathbf {X} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )+\operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )+\operatorname {var} (\mathbf {Y} )$
9. $\operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {BX} )=\mathbf {A} \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )\mathbf {B} ^{T}$
10. 若$\mathbf {X}$ 與$\mathbf {Y}$ 是獨立的，則有$\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=0$
11. $\mathbf {\Sigma } =\mathbf {\Sigma } ^{T}$

儘管協方差矩陣很簡單，可它卻是很多領域裏的非常有力的工具。它能導出一個轉換矩陣，這個矩陣能使數據完全去相關(decorrelation)。從不同的角度看，也就是說能夠找出一組最佳的基以緊湊的方式來表達數據。(完整的證明請參考瑞利商)。 這個方法在統計學中被稱為主成分分析(principal components analysis)，在圖像處理中稱為Karhunen-Loève 轉換(KL-轉換)。

複隨機向量

均值為$\mu$的複隨機純量變量的方差定義如下（使用共軛複數）：

$\operatorname {var} (z)=\operatorname {E} \left[(z-\mu )(z-\mu )^{*}\right]$

其中複數$z$的共軛記為$z^{*}$。

如果$Z$ 是一個複列向量,則取其共軛轉置，得到一個方陣:

$\operatorname {E} \left[(Z-\mu )(Z-\mu )^{*}\right]$

其中$Z^{*}$為共軛轉置, 它對於純量也成立，因為純量的轉置還是純量。

估計

多元正態分佈的協方差矩陣的估計的推導非常精緻. 它需要用到譜定義以及為什麼把純量看做$1\times 1$矩陣的跡更好的原因。參見協方差矩陣的估計。

外部連結

• Covariance Matrix（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Mathworld