博雷尔和

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在數學上,博雷爾和是一種发散级数求和方法。這種求和法是由埃米尔·博雷尔於1899年提出的。 博雷爾和有時也會以其他形式出現。 它的一般推廣是米塔格-列夫勒和

定義[编辑]

A(z)z的一個形式冪級數

A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k

則定義A博雷爾變換為其等價冪級數

\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k.

博雷爾和[编辑]

假設上述的博雷爾和在0附近收斂為t的一個解析函數,且它在正半軸上是連續的,使得下列的反常積分有意義,則A博雷爾和定義為

\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt.

若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z),則稱A的博雷爾和在z收斂,並記為  {\textstyle \sum}  a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B)

弱博雷爾和[编辑]

An(z)為下列部分和

A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k

博雷爾和一種較弱的形式定義A的博雷爾和為

 \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)

若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z),則稱A弱博雷爾和收斂於z,並記為 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) .

基本性質[编辑]

正定性[编辑]

(B)和(wB)兩者都是正定的求和法,意味着若A(z)收斂,則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂,並且其值等於原級數的值,亦即:

 \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum} a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{wB})

(B)的正定性容易由下式看出,若A(z)z收斂,則

 A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt

其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷爾和與弱博雷爾和的等價性[编辑]

對任意的級數A(z),若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的,則必定是博雷爾可求和的。然而,可以構造 一個例子,使得其弱博雷爾和發散,但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

定理Hardy 1992,8.5)
A(z) 是一個形式冪級數,並限定z ∈ C,則:
  1.  {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) ,則 {\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})
  2.  {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B}) ,且 \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0,則 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})

與其他求和法的關聯[编辑]

  • (B) 是米塔格-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
  • (wB) 可視為歐拉求和法的一個推廣形式。

[1]

例子[编辑]

幾何級數[编辑]

考慮幾何級數

y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k

當 |z| < 1時,收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為

\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t

因此,上述級數的博雷爾和為

\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}

然而,這個積分能在更大的範圍 Re(z) <  1 內收斂到 1/(1 − z),也就是原級數的和。

另外,對原級數使用弱博雷爾求和法,則其部分和為AN(z) = (1-zN+1)/(1-z),因此其弱博雷爾和為

 \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty  \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}

同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出,因為對Re(z) < 1,

 \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0

一個交替級數[编辑]

級數

y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k

對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為

\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t}

對任意的|t| < 1 都成立,且於  t ≥ 0 上解析連續。

因此,上述級數的博雷爾和為

\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)

(其中Γ是指不完全Γ函數

這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂,所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時,原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見,一些發散的級數,亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。


參考資料[编辑]

  1. ^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series. AMS Chelsea, Rhode Island.