博雷爾求和

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博雷尔, 在他還是一個默默無名的年輕人時,就發現了他的求和方法,而且還可以對許多經興的發散級數給出「正確」的答案。於是,他決心到斯德哥爾摩拜會當時走在複分析領域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒禮貌地接見了他,聽完博雷爾的說話,然後按手在他老師魏尔斯特拉斯完整的文稿上,用拉丁語說:「大師禁止了它。」

——Mark Kac, 引用自Reed & Simon (1978, p. 38)

在數學上,博雷爾求和英语:Borel summation)是一種发散级数求和方法。這種求和法是由埃米尔 博雷尔 (1899)提出的,在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現,它的一般推廣是米塔-列夫勒和

定義[编辑]

博雷爾求和大致上有兩種形式,它們僅在適用範圍上有差異;但整體上兩個方法是一致的,意思是,只要能適用於同一級數,則它們必定得到同樣的答案。

A(z)z的一個形式冪級數

則定義A博雷爾變換為其等價冪級數

博雷爾指數求和[编辑]

An(z)為下列部分和

博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為

若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z),則稱A弱博雷爾和收斂於z,並記為.

博雷爾積分求和[编辑]

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂,且下列的反常積分有意義,則A博雷爾和定義為

若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z),則稱A的博雷爾和在z收斂,並記為

實際上,積分求和法的條件中,博雷爾變換無需對所有t都收斂,只需在0附近收斂為t的一個解析函數,且它在正半軸上解析連續即可。

基本性質[编辑]

正定性[编辑]

(B)和(wB)兩者都是正定的求和法,意味着若A(z)收斂,則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂,並且其值等於原級數的值,亦即:

(B)的正定性容易由下式看出,若A(z)z收斂,則

其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷爾和與弱博雷爾和的等價性[编辑]

對任意的級數A(z),若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的,則必定是博雷爾可求和的。然而,可以構造 一個例子,使得其弱博雷爾和發散,但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

定理Hardy 1992,8.5)
A(z) 是一個形式冪級數,並限定z ∈ C,則:
  1. ,則
  2. ,且,則

與其他求和法的關聯[编辑]

  • (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
  • (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式,其中

[1]

例子[编辑]

幾何級數[编辑]

考慮幾何級數

當 |z| < 1時,收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為

因此,上述級數的博雷爾和為

然而,這個積分能在更大的範圍 Re(z) <  1 內收斂到 1/(1 − z),也就是原級數的和。

另外,對原級數使用弱博雷爾求和法,則其部分和為AN(z) = (1-zN+1)/(1-z),因此其弱博雷爾和為

同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出,因為對Re(z) < 1,

一個交替級數[编辑]

級數

對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為

對任意的|t| < 1 都成立,且於  t ≥ 0 上解析連續。

因此,上述級數的博雷爾和為

(其中Γ是指不完全Γ函數

這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂,所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時,原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見,一些發散的級數,亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。

不滿足等價性的例子[编辑]

以下是(Hardy 1992,8.5)所給出的例子的一個擴展。考慮

交換求和的順序後,上式的博雷爾變換為

z = 2 處,可求得博雷爾和為

其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉(但顯然積分對 z > 2發散)。

至於求弱博雷爾和時,注意到

僅對 z < 1 成立,因此,實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series. AMS Chelsea, Rhode Island.