在數學上,博雷爾求和(英語:Borel summation)是一種發散級數的求和方法。這種求和法是由埃米爾 博雷爾 (1899)提出的,在處理發散的漸近展開時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現,它的一般推廣是米塔-列夫勒和。
博雷爾求和大致上有兩種形式,它們僅在適用範圍上有差異;但整體上兩個方法是一致的,意思是,只要能適用於同一級數,則它們必定得到同樣的答案。
設A(z)是z的一個形式冪級數
,
則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數
。
設An(z)為下列部分和:
。
博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為
。
若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z),則稱A的弱博雷爾和收斂於z,並記為
.
假設上述的博雷爾變換在實數上收斂,且下列的反常積分有意義,則A的博雷爾和定義為
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aa348ccf0704d930cea337933239d99c0f1bfc)
若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z),則稱A的博雷爾和在z收斂,並記為
。
實際上,積分求和法的條件中,博雷爾變換無需對所有t都收斂,只需在0附近收斂為t的一個解析函數,且它在正半軸上解析連續即可。
(B)和(wB)兩者都是正定的求和法,意味着若A(z)收斂,則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂,並且其值等於原級數的值,亦即:
。
(B)的正定性容易由下式看出,若A(z)在z收斂,則
,
其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。
(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。
對任意的級數A(z),若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的,則必定是博雷爾可求和的。然而,可以構造 一個例子,使得其弱博雷爾和發散,但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。
- 定理 (Hardy 1992,8.5)
- 設A(z) 是一個形式冪級數,並限定z ∈ C,則:
- 若
,則
。
- 若
,且
,則
。
- (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
- (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式,其中
。
[1]
考慮幾何級數
![{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa00d40b54b4549b90a2be48c85e0857cd4a3cbb)
當 |z| < 1時,收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為
![{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0610e0d0621db2f7c20616ab0b797a4d37aa24b2)
因此,上述級數的博雷爾和為
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3496cab170f609be1e882718ba1b2fb1af0a92)
然而,這個積分能在更大的範圍 Re(z) < 1 內收斂到 1/(1 − z),也就是原級數的和。
另外,對原級數使用弱博雷爾求和法,則其部分和為AN(z) = (1-zN+1)/(1-z),因此其弱博雷爾和為
,
同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出,因為對Re(z) < 1,
。
級數
![{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aeff12bb85a45e4a38692af1e118c3c701c0d23)
對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為
![{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438f6f743dd295f0ba0c3eeb4fe4093ed2b367ee)
對任意的|t| < 1 都成立,且於 t ≥ 0 上解析連續。
因此,上述級數的博雷爾和為
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc99a17fddc26cdf2738b1551c92a5c0c274c798)
(其中Γ是指不完全Γ函數)
這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂,所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時,原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見,一些發散的級數,亦有可能以博雷爾求和的方式求出「正確」的發散漸近展開式。
以下是(Hardy 1992,8.5)所給出的例子的一個擴展。考慮
![{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de47ab68a30af134204515f0547edf0481a23150)
交換求和的順序後,上式的博雷爾變換為
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0773d1df62e4f9e28c3af86e52ba61569b3e12a5)
在 z = 2 處,可求得博雷爾和為
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f27bc1970ab5a1b7065b537c80fd85caa8dc1b)
其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉(但顯然積分對 z > 2發散)。
至於求弱博雷爾和時,注意到
![{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ee89c3651df8eefddc52a234390f7bd7b9b57b)
僅對 z < 1 成立,因此,實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。
- ^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series. AMS Chelsea, Rhode Island.
- Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, 16: 9–131 [2013-05-25], (原始內容存檔於2018-10-04)
- Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
- Hardy, Godfrey Harold, Divergent Series, New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
- Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
- Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988
- Weinberg, Steven, The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467