博雷尔求和

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博雷尔, 在他还是一个默默无名的年轻人时,就发现了他的求和方法,而且还可以对许多经兴的发散级数给出“正确”的答案。于是,他决心到斯德哥尔摩拜会当时走在复分析领域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒礼貌地接见了他,听完博雷尔的说话,然后按手在他老师魏尔斯特拉斯完整的文稿上,用拉丁语说:“大师禁止了它。”

Mark Kac, 引用自Reed & Simon (1978, p. 38)

在数学上,博雷尔求和英语:Borel summation)是一种发散级数求和方法。这种求和法是由埃米尔 博雷尔 (1899)提出的,在处理发散的渐近展开时尤其有用。博雷尔和有时也会以其他形式出现,它的一般推广是米塔-列夫勒和

定义[编辑]

博雷尔求和大致上有两种形式,它们仅在适用范围上有差异;但整体上两个方法是一致的,意思是,只要能适用于同一级数,则它们必定得到同样的答案。

A(z)z的一个形式幂级数

则定义A博雷尔变换为其等价幂级数

博雷尔指数求和[编辑]

An(z)为下列部分和

博雷尔和的一种较弱的形式定义A的博雷尔和为

若此极限在某个z ∈ C时收敛至a(z),则称A弱博雷尔和收敛于z,并记为.

博雷尔积分求和[编辑]

假设上述的博雷尔变换在实数上收敛,且下列的反常积分有意义,则A博雷尔和定义为

若积分在某个z ∈ C时收敛于a(z),则称A的博雷尔和在z收敛,并记为

实际上,积分求和法的条件中,博雷尔变换无需对所有t都收敛,只需在0附近收敛为t的一个解析函数,且它在正半轴上解析连续即可。

基本性质[编辑]

正定性[编辑]

(B)和(wB)两者都是正定的求和法,意味着若A(z)收敛,则博雷尔和与弱博雷尔和两者都会收敛,并且其值等于原级数的值,亦即:

(B)的正定性容易由下式看出,若A(z)z收敛,则

其中最右式正是原级数在z处的博雷尔和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷尔和与弱博雷尔和的等价性[编辑]

对任意的级数A(z),若它在z ∈ C处是弱博雷尔可求和的,则必定是博雷尔可求和的。然而,可以构造 一个例子,使得其弱博雷尔和发散,但博雷尔和收敛。以下的定理表明了两者的等价性。

定理Hardy 1992,8.5)
A(z) 是一个形式幂级数,并限定z ∈ C,则:
  1. ,则
  2. ,且,则

与其他求和法的关联[编辑]

  • (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1时的特殊情况。
  • (wB) 可视为广义欧拉求和法(E,q) 一个有限制的形式,其中

[1]

例子[编辑]

几何级数[编辑]

考虑几何级数

当 |z| < 1时,收敛到 1/(1 − z)。它的博雷尔变换为

因此,上述级数的博雷尔和为

然而,这个积分能在更大的范围 Re(z) <  1 内收敛到 1/(1 − z),也就是原级数的和。

另外,对原级数使用弱博雷尔求和法,则其部分和为AN(z) = (1-zN+1)/(1-z),因此其弱博雷尔和为

同样在Re(z) < 1时收敛。这个结论可以由等价定理的第二部分看出,因为对Re(z) < 1,

一个交替级数[编辑]

级数

对任意非零的 z 都发散。它的博雷尔变换为

对任意的|t| < 1 都成立,且于  t ≥ 0 上解析连续。

因此,上述级数的博雷尔和为

(其中Γ是指不完全Γ函数

这个广义积分对任意的 z ≥ 0 都收敛,所以原来的发散级数是对任意这样的 z 博雷尔可求和的. 这个函数实际上是当 z 趋近于 0 时,原发散级数的一个渐近展开。从这个例子可见,一些发散的级数,亦有可能以博雷尔求和的方式求出“正确”的发散渐近展开式。

不满足等价性的例子[编辑]

以下是(Hardy 1992,8.5)所给出的例子的一个扩展。考虑

交换求和的顺序后,上式的博雷尔变换为

z = 2 处,可求得博雷尔和为

其中 S(x) 表示菲涅耳积分。于是上述博雷尔积分对任意z ≤ 2 都收俭(但显然积分对 z > 2发散)。

至于求弱博雷尔和时,注意到

仅对 z < 1 成立,因此,实际上求得的弱博雷尔和只在一个较小的范围内收敛。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series. AMS Chelsea, Rhode Island.