四分之一音差中全律

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四分之一音差中全律,是中庸全音律的一种,应用于巴洛克时代前后。

为了确保大三度的和谐,把纯五度音程略微缩小,并且把大全音(8/9)和小全音(9/10)折中了。

原理[编辑]

先来看看十七度音程,比如D4到F6#的音程有两种算法。

  • 4个纯五度相加(即D4-A4-E5-B5-F6#),或者
  • 2个八度加大三度(即D4-D5-D6-F6#)

十七度在五度相生律使用四个纯正的五度(3/2)相加的方法,即

 \left( {3 \over 2} \right)^4 = {81 \over 16} = {80 \over 16} \cdot {81 \over 80} = 5 \cdot {81 \over 80}

纯律使用纯正大三度(5/4)加两个八度的方法:

 2 \cdot {2 \over 1} \cdot {5 \over 4} = 5

也就是说五度相生律的大三度是81/64,比纯律大81/80,并不纯正。两者的差叫普通音差,約21.506音分

 1200 \lg {81 \over 80} \ \hbox{cents} \approx 21.506 \ \hbox{cents}

纯律十七度的频率比(5/1),不等于纯五度频率比(3/2)的四次方。所以把1/4普通音差从纯五度减去,形成四分之一音差中全律。

设五度频率比为x,则其四次方为5。

 x^4 = 5 \

所以这种五度的频率比是

 x = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4}

这便是四分之一音差中全律的五度,約696.578音分。

 5^{1/4} \approx 1.495349 = 1200 \lg 5^{1/4} \ \hbox{cents} \approx 696.578 \ \hbox{cents}

它比纯正的五度稍小。

 3/2 = 1.5 = 1200 \lg {3 \over 2} \ \hbox{cents} \approx 701.955 \ \hbox{cents}

两者的差是1/4普通音差。

 \approx 701.955 - 696.578 \approx 5.377 \approx {21.506 \over 4} \ \hbox{cents}

半音阶的十二个音,可由五度乘除得来。除了音高,与五度相生律性质完全相同。

下表以D为起点算出每个音,列出从D开始的音程以及频率比和音分。算式的 x = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4} 是五度,以此类推。

音名 从D开始的音程 計算式 比率 音分
A 減五度 x^{-6} \cdot 2^4 = \frac{16 \sqrt{5}}{25} 1.4311 620.5
E 小二度 x^{-5} \cdot 2^3 = \frac{8 \sqrt{5}x}{25} 1.0700 117.1
B 小六度 x^{-4} \cdot 2^3 = \frac{8}{5} 1.6000 813.7
F 小三度 x^{-3} \cdot 2^2 = \frac{4x}{5} 1.1963 310.3
C 小七度 x^{-2} \cdot 2^2 = \frac{4 \sqrt{5}}{5} 1.7889 1006.8
G 纯四度 x^{-1} \cdot 2^1 = \frac{2 \sqrt{5}x}{5} 1.3375 503.4
D 一度 x^0 \cdot 2^0 = 1 1.0000 0.0
A 纯五度 x^1 \cdot 2^0 = x 1.4953 696.6
E 大二度 x^2 \cdot 2^{-1} = \frac{\sqrt{5}}{2} 1.1180 193.2
B 大六度 x^3 \cdot 2^{-1} = \frac{\sqrt{5}x}{2} 1.6719 889.7
F 大三度 x^4 \cdot 2^{-2} = \frac{5}{4} 1.2500 386.3
C 大七度 x^5 \cdot 2^{-2} = \frac{5x}{4} 1.8692 1082.9
G 增四度 x^6 \cdot 2^{-3} = \frac{5 \sqrt{5}}{8} 1.3975 579.5

五度相生律相同,这里的A♭和G#不一样。在半音阶中,一般省略A♭。(但也有省略G#的)这里G♯到E♭的“五度”音程比純正的五度还要大。抱恨这个五度的和弦会发生顕著的不和谐(像狼叫一样),称为狼音(en:Wolf interval)。而且,包含狼音五度的4个五度组合出来的十七度(大三度)也很不和谐。所以限制了調的选择。使用四分之一音差中全律的乐曲一般調号在三个#或两个♭之间。

四分之一音差中全律与平均律、五度相生律[编辑]

从D开始的音程音分值。音程名是英语简写(例:五度→P5)。一般银用粗体,狼音是红色背景。

此音律同样的半音数目有两种音程。可参见右表。

四分之一音差中全律的11个纯五度比纯正的纯五度少1/4普通音差,約696.6音分。 剩下一个約737.6音分的音程(狼音五度)。它是異名同音的音程,正确说法是减六度。它们的平均値是700音分,即平均律的五度。

  • 9个小三度約310.3音分,其他3个是增二度約269.2音分,平均値300音分。
  • 8个大三度約386.3音分,其他4个是減四度で約427.4音分,平均値400音分。
  • 7个自然半音(小二度)約117.1音分,其他4个是变化半音(增一度)約76.0音分,平均値100音分。

可以看出,四分之一音差中全律的音程大小关系和五度相生律是反着的。

調音法[编辑]

这是四分之一音差中全律在键盘乐器上的調音法(可参考给巴洛克乐团)(C为基准)。

  • 确定C和E之間的G、D、A
    • 音叉定小字一组的C。
    • C上的E调整到无拍音(即纯律大三度)。
    • C下的F、降B暂按五度相生律确定。
    • E上的B、升F暂从E按纯正五度确定。
    • 暂定的降B和升F中间按不和谐感最小的方法确定D。
    • D和C之間同样按不和谐感最小的方法确定G。
    • D和E之間再按这种方法确定A。
于是四分之一音差中全律的五度确定完成。
  • 从五度和大三度定律
    • 按纯律大三度从G下得降E,上得B。
    • 再按纯律大三度从D下得降B、上得升F。
    • 再按纯律大三度从A下得F,上得升C。
    • 再按纯律大三度从C上得升G。
  • 最后一步
    • 把这十二个音扩展到别的八度。

関連項目[编辑]