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堆積

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(英語:Heap)是计算机科学中的一種特別的完全二叉树。若是滿足以下特性,即可稱為堆積:「給定堆積中任意節點P和C,若P是C的母節點,那麼P的值會小於等於(或大於等於)C的值」。若母節點的值恆小於等於子節點的值,此堆積稱為最小堆積min heap);反之,若母節點的值恆大於等於子節點的值,此堆積稱為最大堆積max heap)。在堆積中最頂端的那一個節點,稱作根節點root node),根節點本身沒有母節點parent node)。

堆積始於J. W. J. Williams英语J. W. J. Williams在1964年發表的堆積排序heap sort),當時他提出了二元堆積樹作為此演算法的資料結構。堆積在戴克斯特拉演算法(英語:Dijkstra's algorithm)中亦為重要的關鍵。

队列中,调度程序反复提取队列中第一个作业并运行,因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束,或者某些不短小,但具有重要性的作业,同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。[1]

性质[编辑]

堆的实现通过构造二叉堆(binary heap),实为二叉树的一种;由于其应用的普遍性,当不加限定时,均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。

  • 任意节点小于(或大于)它的所有后裔,最小元(或最大元)在堆的根上(堆序性)。
  • 堆总是一棵完全树。即除了最底层,其他层的节点都被元素填满,且最底层尽可能地从左到右填入。

将根节点最大的堆叫做最大堆大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆小根堆。常见的堆有二叉堆斐波那契堆等。

支持的基本操作[编辑]

操作 描述 时间复杂度
build 建立一个空堆
insert 向堆中插入一个新元素
update 将新元素提升使其符合堆的性质
get 获取当前堆顶元素的值
delete 删除堆顶元素
heapify 使删除堆顶元素的堆再次成为堆

某些堆实现还支持其他的一些操作,如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

例程[编辑]

为将元素X插入堆中,找到空闲位置,建立一个空穴,若满足堆序性(英文:heap order),则插入完成;否则将父节点元素装入空穴,删除该父节点元素,完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做上滤(percolate up)。[1]

void Insert( ElementType X, PriorityQueue H ) {
    int i;
    if (IsFull(H)) {
        printf("Queue is full.\n");
        return;
    }
    for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2)
        H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
    H->Elements[i] = X;
}

以上是插入到一个二叉堆的过程。

DeleteMin,删除最小元,即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后,队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置,使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作下滤

ElementType DeleteMin(PriorityQueue H) {
    int i, Child;
    ElementType MinElement, LastElement;
    if (IsEmpty(H)) {
        printf("Queue is empty.\n");
        return H->Elements[0];
    }
    MinElement = H->Elements[1];
    LastElement = H->Elements[H->Size--];
    for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child) {
        // Find smaller child.
        Child = i * 2;
        if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1]
                <  H->Elements[Child])
            Child++;
        // Percolate one level.
        if (LastElement > H->Elements[Child])
            H->Elements[i] = H->Elements[Child];
        else
            break;
    }
    H->Elements[i] = LastElement;
    return MinElement;
}

应用[编辑]

堆排序[编辑]

堆(通常是二叉堆)常用于排序。这种算法称作堆排序

事件模拟[编辑]

主要运用堆的排序以选择优先。

参考[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 《数据结构与算法分析》Mark Allen Weiss(美)第六章,优先队列(堆)。

参见[编辑]