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守恆量

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經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為守恆量conserved quantity),又稱為運動常數[1]由於很多物理定律會表達某種守恆行為,對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如,假設在某系統內涉及的作用力保守力,則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力,則此系統的角動量是守恆量。

動量[编辑]

根據動量守恆定律,假若一個粒子所感受到的外力,其總向量和為零,則這粒子的動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻速運動或著靜止不變。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力為零:

根據牛頓第二定律,淨外力與動量 的關係式為

所以,動量是一個常數,是一個守恆量。

角動量[编辑]

根據角動量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力矩,其其總向量和為零,則這粒子的角動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻角運動或直線運動。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力矩 為零:

淨外力矩與角動量 的關係式為

所以,角動量是一個常數,是一個守恆量。

能量[编辑]

在經典力學裏,粒子的能量定義為動能勢能的代數和。根據能量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力都是保守力,則這粒子的能量保持不變,是一個守恆量。[2]以方程式表達,能量 為動能 與勢能 的代數和

粒子的動能與運動速度 的關係為

其中, 是粒子的質量

而對於保守系統,勢能與淨保守力 的關係為

能量對於時間的導數為

所以,能量是一個常數,是一個守恆量。

能量函數[编辑]

思考一個物理系統,其拉格朗日量是动能 与势能 的差值:

通常,動能的參數為廣義速度 (符號上方的點號表示對於時間 全導數),而勢能的參數為廣義坐標 ,所以,拉格朗日量的參數為

這物理系統的運動軌道,以拉格朗日方程式表示為

其中, 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為

將拉格朗日方程式代入,可以得到

定義「能量函數」

則能量函數與拉格朗日量的關係為

假若拉格朗日量顯性地與時間無關, ,則能量函數是一個常數,是一個守恆量。設定 ,這常數 可以稱為這物理系統的能量。因此,這物理系統的能量守恆

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 (English)