守恆量

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經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為守恆量conserved quantity),又稱為運動常數[1]由於很多物理定律會表達某種守恆行為,對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如,假設在某系統內涉及的作用力保守力,則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力,則此系統的角動量是守恆量。

動量[编辑]

根據動量守恆定律,假若一個粒子所感受到的外力,其總向量和為零,則這粒子的動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻速運動或著靜止不變。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力為零:

\mathbf{F}=0

根據牛頓第二定律,淨外力與動量 \mathbf{p} 的關係式為

\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

所以,動量是一個常數,是一個守恆量。

角動量[编辑]

根據角動量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力矩,其其總向量和為零,則這粒子的角動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻角運動或直線運動。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力矩 \boldsymbol{\tau} 為零:

\boldsymbol{\tau}=0

淨外力矩與角動量 \boldsymbol{\ell} 的關係式為

\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\mathrm{d}t}

所以,角動量是一個常數,是一個守恆量。

能量[编辑]

在經典力學裏,粒子的能量定義為動能勢能的代數和。根據能量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力都是保守力,則這粒子的能量保持不變,是一個守恆量。[2]以方程式表達,能量 E 為動能 T 與勢能 V 的代數和

E=T+V

粒子的動能與運動速度 \mathbf{v} 的關係為

T=mv^2/2

其中,m 是粒子的質量

而對於保守系統,勢能與淨保守力 \mathbf{F} 的關係為

\mathbf{F}=-\nabla V

能量對於時間的導數為

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=m\mathbf{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+\mathbf{v}\cdot \nabla V=\mathbf{v}\cdot(m\mathbf{a}-\mathbf{F})=0

所以,能量是一個常數,是一個守恆量。

能量函數[编辑]

思考一個物理系統,其拉格朗日量是动能 T 与势能 V 的差值:

\mathcal{L}=T - V

通常,動能的參數為廣義速度 \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N (符號上方的點號表示對於時間 t全導數),而勢能的參數為廣義坐標 q_1,q_2,q_3, \dots, q_N; t ,所以,拉格朗日量的參數為 q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N;t

這物理系統的運動軌道,以拉格朗日方程式表示為

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0

其中,t 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為

\frac{d\mathcal{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}

將拉格朗日方程式代入,可以得到

\begin{align}\frac{d\mathcal{L}}{dt} & =\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
 &=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
\end{align}

定義「能量函數」 \mathit{h}(q_1,q_2,q_3, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots;t)

\mathit{h}\ \stackrel{def}{=}\ \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - \mathcal{L}

則能量函數與拉格朗日量的關係為

\frac{d\mathit{h}}{dt}= - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}

假若拉格朗日量顯性地與時間無關,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0\mathcal{L}=\mathcal{L}(q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N) ,則能量函數是一個常數,是一個守恆量。設定 \mathit{h}=E ,這常數 E 可以稱為這物理系統的能量。因此,這物理系統的能量守恆

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics. 3rd, United States of America: Addison Wesley. 1980:  pp. 2-5, 61, 312-324, ISBN 0201657023 (英文)