定向 (数学)

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数学中,向量空间的一个定向Orientation)是对哪些有序是“正”定向以及哪些是“负”定向的一个选取。在三维欧几里得空间中,两个可能的基本定向分别称为右手系与左手系。但是定向的选取与基的手征性是独立的(尽管右手基典型地选为正定向,但它们也可规定为负定向)。

定义[编辑]

V 是一个实向量空间,b1b2V 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换 A : VV,将 b1 变为 b2。如果 A行列式为正,则称基 b1b2 有相同定向(或一致定向);不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在 V 的所有有序基上定义了一个等价关系。如果 V 非零,恰好存在两个由这个等价关系决定的等价类V 上一个定向是将其中一类置为 +1 而另一类为 -1 的一个规定。

每个有序基在一个等价类之中。故选取 V 的一个有序基决定了一个定向:选取的这个基的定向类规定为正的。例如:Rn 上的标准基在 Rn 上给出了一个标准定向VRn 之间选取一个线性同构可给出 V 的一个定向。

基中元素的顺序是关键。顺序不同的两个基可差某个置换。它们可能有相同或相反的定向,取决于这个置换的符号 ±1。这是因为置换矩阵的行列式等于相应置换的符号。

零维[编辑]

上面定义的定向概念对零维向量空间只有一个定向(因为空矩阵的行列式是 1)。但是对一个点规定不同的定向可能是有用的(例如,定向一维流形的边界)。定向的另一个与维数无关的定义如下:V 的一个定向是从 V 的有序基集合到集合 \{\pm 1\} 的映射,使得在正行列式基变更下不变而在负行列式基变更下给变符号(关于同态 GL_n \to \pm 1 等变)。零维向量空间的有序基有一个元素(空集),从而从这个集合到 \{\pm 1\} 有两个映射。

一个微妙之处在于零维向量空间是自然定向的,所以我们可以谈论一个定向是正的(与典范定向相同)或负的(不同)。一个应用是将微积分基本定理理解为斯托克斯定理的一个特例。

对此的两种看法是:

  • 零维向量空间是一个点,存在惟一映射从一个点到一个点,所以每个零维向量空间自然与 R^0 等价,从而是定向的。
  • 一个向量空间的 0 次外幂是底域 K,在这里是 R^1,它有一个定向(由标准基给出)。

其它观点[编辑]

多重线性代数[编辑]

对任意 n-维实向量空间 V,我们可构造 Vk-次外幂,记作 ΛkV。这是一个维数为 (n,k) 的向量空间。故向量空间 ΛnV (称为最高外幂)的维数为 1。即 ΛnV 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零线性形式 ω on ΛnV 决定了 V 的一个定向,当 ω(x) > 0 时规定 x 是正定向的。为了与基本的看法联系起来,我们说正定向基是那些 ω 取正数的(因为 ω 是一个 n-形式,我们可在 n 个向量的有序基上取值,给出 R 中一个元素)。形式 ω 称为一个定向形式orientation form)。如果 {ei} 是 V 先给定的基而 {ei*} 是对偶基,则给出标准定向的定向形式是 e1*e2*∧…∧en*

这与行列式观点的联系是:一个自同构 T\colon V \to V 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用。

李群论[编辑]

BV 的所有有序基集合。则一般线性群 GL(V) 自由传递作用B 上(花哨的语言,B 是一个 GL(V)-torsor)。这意味着作为一个流形 B (非典范地)同构于 GL(V)。注意到群 GL(V) 不是连通的,而有两个连通分支,对于于变换的行列式的正负号(除了 GL0,这是平凡群故只有一个连通分支;这对应于一个零维向量空间的典范定向)。GL(V) 的单位分支记作 GL+(V),由所有正行列式的变换组成。GL+(V) 在 B 上的作用不是传递的:有两个轨道,分别对应于 B 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 B 没有特定的元素(即一个特别的基),故没有自然选取哪个分支是正的。将其与 GL(V) 对比,后者有一个特别的分支:单位分支。B 与 GL(V) 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基,从而决定了一个定向。

更形式地:\pi_0(GL(V)) = (GL(V)/GL^+(V) = \{\pm 1\}Vn-标架的斯蒂弗尔流形Stiefel manifold)是一个 GL(V)-torsor,所以 V_n(V)/GL^+(V)\{\pm 1\} 上一个 torsor,即它是两个点,选取其中一个便是一个定向。

流形上的定向[编辑]

我们也可以讨论流形上的定向。n-维可微流形 M 上每一点 p 有一个切空间 TpM,这是一个 n-维实向量空间。每个这样的向量空间可规定一个定向。但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点“光滑变化”。由于某些拓扑限制,当在某些情形是可能的。在切空间上存在一个光滑定向的流形称为可定向的。关于流形的定向,参见可定向性一文。

相关条目[编辑]