巴尼斯G函数

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巴尼斯G函数超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数K函数以及格莱舍常数(Glaisher constant)有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为:

其中,γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值[编辑]

巴尼斯G函数满足差分方程

特殊地,G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有:

因此,

其中,表示Γ函数表示K函数

另外,在满足条件时,差分方程唯一确定一个G函数。[2].

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):

乘法公式[编辑]

与Γ函数一样,G函数也有其乘法公式:

其中K是一个常数,定义为:

其中表示黎曼ζ函数导函数则表示为格莱舍常数。

渐近展开为(由巴尼斯提出):

其中为伯努利数,为格莱舍常数。(需要注意的是,在巴尼斯的时代,伯努利数习惯写成。)

相关条目[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
  2. ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235-249 (1979).