K函数

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K函数hyper阶乘函数在复数上的扩展,如同Γ函数阶乘函数在复数上的扩展。 K函数的定义为:

K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].

还可以写成闭合形式:

K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right].

其中,\zeta^\prime(z)表示黎曼ζ函數导函数,而\zeta^\prime(a,z)则表示赫维茨ζ函数的导函数,即

\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.

另一种使用多伽玛函数的表示形式是:[1]

K(z)=\exp\left(\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac z2 \ln (2\pi)\right).

或者使用广义多伽玛函数表示为:[2]

K(z)=A e^{\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}.

其中A表示格莱舍常数(Glaisher constant)。

K函数与Γ函数巴尼斯G函数关系密切。对于自然数n,我们有:

K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.

还可以更简单地写为:

K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.

前几项为:1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的第A002109号数列).

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参考[编辑]

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