赫尔维茨ζ函数

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复空间赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

其中都是复数,并且有,

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=

级数展开[编辑]

赫尔维茨ζ函数可以展开成级数::[1]


此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数

积分式[编辑]

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

其中

赫尔维茨公式[编辑]

其中

对于 and s > 1成立,其中 代表 多重对数.

泰勒展开[编辑]

赫尔维茨ζ函数的导数是平移:


因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

其中 .[2]

与Θ函數的关系[编辑]

 代表 雅可比 Θ函數, 则

对于 and 复数z 成立,但对于 z=n 整数,则有

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广[编辑]

正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:[3]

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

即:

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系:

其中

Meijer G函数

参考文献[编辑]

  1. ^ Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, Mathematische Zeitschrift, 1930, 32 (1): 458–464, Zbl 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645 
  2. ^ Vepstas, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math/0702243.  不支持的参数使用了arXiv (帮助)
  3. ^ Apostol (1976) p.264