巴尼斯G函數是超級階乘函數在複數上的擴展。它與Γ函數、K函數以及格萊舍常數(Glaisher constant)有關。以數學家歐尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]
巴尼斯G函數可以通用魏爾施特拉斯分解定理的形式定義為:
![{\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a012aa3e1e4038a08f4e3aa4efdb64aa1e206047)
其中,γ表示歐拉-馬歇羅尼常數。
巴尼斯G函數滿足差分方程
![{\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6999083c5ff723a446566bc0a74e37e9cea6564)
特殊地,G(1)=1. 從此方程可推出G取整數自變量時有:
![{\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76d1753ce68dba901fe443b31e3668c719c6bdf)
因此,
![{\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3653b0fbb1edb6ba8ec05bb9b48d3b391a7d1a99)
其中,
表示Γ函數,
表示K函數。
另外,在滿足條件
時,差分方程唯一確定一個G函數。[2].
由G函數的差分方程和Γ函數的函數方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):
![{\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c15c3ee92b9b18fed3dedc95cde84570fdb908c)
與Γ函數一樣,G函數也有其乘法公式:
![{\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e60ac86320b457c36414b06a9e09fcf59e7bd0)
其中K是一個常數,定義為:
![{\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16b7b4a859173c3480ea7fdaefd752bab2b2512)
其中
表示黎曼ζ函數的導函數,
則表示為格萊舍常數。
可漸近展開為(由巴尼斯提出):
![{\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb51258fe46ef07fd4a97757fd9abbece299cea2)
其中
為伯努利數,
為格萊舍常數。(需要注意的是,在巴尼斯的時代,伯努利數
習慣寫成
。)
- ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
- ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL
, Astérisque 61, 235-249 (1979).