希格斯丛
数学中，希格斯丛是由全纯向量丛E和希格斯场（在E的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足）组成的二元组。Nigel Hitchin （1987）[1]以彼得·希格斯命名了场，因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语，以及条件（在希钦最初在黎曼曲面上的设置中此条件是空的）。[2]
希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯仿射联络的“简化”，其中导数缩放至0。非阿贝尔霍奇对应指出，在合适的稳定性条件下，光滑射影复代数簇上的平坦全纯联络范畴、此簇的基本群表示范畴、此簇上的希格斯丛范畴实际上等价。于是，可由较简单的希格斯丛推导出关于平坦联络的规范理论结果。
历史[编辑]
希格斯丛由希钦 (1987)首次引入，针对的是全纯向量丛E在紧黎曼曲面上的情形。希钦的论文主要讨论秩为2的向量丛（即纤维是2维向量空间）。秩2向量丛是希钦方程中主SU(2)丛的解空间。
黎曼曲面上的理论后由卡洛斯·辛普森推广到底流形为紧凯勒流形的情形。维度设为1时，会退化成希钦的理论。
稳定性[编辑]
希格斯丛理论中，稳定希格斯丛的概念尤为重要。为此要先定义-不变子丛。
在希钦最初的讨论中，若（K是黎曼曲面M上的规范丛），则标记为L的秩1子丛是-不变的。则，当对E的每个-不变子丛L，都有
其中是黎曼曲面上复向量丛度数的通常表示，希格斯丛就是稳定的。
另见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59.
- ^ Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491.
- Corlette, Kevin. Flat G-bundles with canonical metrics. Journal of Differential Geometry. 1988, 28 (3): 361–382. MR 0965220. doi:10.4310/jdg/1214442469
. - Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B., What is... a Higgs bundle? (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 2007, 54 (8): 980–981, MR 2343296
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