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希格斯丛

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数学中,希格斯丛是由全纯向量丛E希格斯场(在E的自同态丛中取值的全纯1-形式,满足)组成的二元组Nigel Hitchin (1987[1]彼得·希格斯命名了场,因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语,以及条件(在希钦最初在黎曼曲面上的设置中此条件是空的)。[2]

希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯仿射联络的“简化”,其中导数缩放至0。非阿贝尔霍奇对应指出,在合适的稳定性条件下,光滑射影复代数簇上的平坦全纯联络范畴、此簇的基本群表示范畴、此簇上的希格斯丛范畴实际上等价。于是,可由较简单的希格斯丛推导出关于平坦联络的规范理论结果。

历史

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希格斯丛由希钦 (1987)首次引入,[1]针对的是全纯向量丛E在紧黎曼曲面上的情形。希钦的论文主要讨论秩为2的向量丛(即纤维是2维向量空间)。秩2向量丛是希钦方程SU(2)丛的解空间。

黎曼曲面上的理论后由卡洛斯·辛普森推广到底流形为紧凯勒流形的情形。维度设为1时,会退化成希钦的理论。

稳定性

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希格斯丛理论中,稳定希格斯丛的概念尤为重要。为此要先定义-不变子丛。

在希钦最初的讨论中,若K是黎曼曲面M上的规范丛),则标记为L的秩1子丛是-不变的。则,当对E的每个-不变子丛L,都有 其中是黎曼曲面上复向量丛度数的通常表示,希格斯丛就是稳定的。

另见

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参考文献

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  1. ^ Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. (原始内容存档于2022-11-12). 
  2. ^ Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491. (原始内容存档 (PDF)于2022-11-24).