广义逆阵

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广义逆(Generalized inverse)[1],是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A广义逆阵,是指具有部份逆矩阵的特性,但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣及另一矩陣,若滿足,則即為的广义逆阵。

广义逆也稱為偽逆(pseudoinverse)[2],有些时候,偽逆特指摩尔-彭若斯广义逆

建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣(例如非方陣的矩陣)可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵,若一矩陣存在逆矩阵,逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構(例如半群)中。

提出廣義逆陣的原因[编辑]

考慮以下的線性方程

其中的矩陣,而, 列空間。 若矩陣可逆矩陣,則即為方程式的解。而若矩陣為可逆矩陣

假設矩陣不可逆或是,需要一個適合的矩陣使得下式成立

因此為線性系統的解。 而同様的,階的矩陣也會使下式成立

因此可以用以下的方式定義广义逆阵:假設一個的矩陣的矩陣若可以使下式成立,矩陣即為的广义逆阵

產生廣義逆陣[编辑]

以下是一種產生廣義逆陣的方式[3]

  1. 為其秩分解英语rank factorization,則的廣義逆陣,其中的右逆矩陣,而的左逆矩陣。
  2. ,其中為可逆矩陣,則的廣義逆陣,其中均為任意矩陣。
  3. 的矩陣,在不失一般性的情形下,令,其中的可逆子矩陣,則的廣義逆陣。

广义逆阵的種類[编辑]

彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵:針對

1.)
2.)
3.)
4.) .

滿足條件(1.),即為的广义逆阵,若滿足條件(1.)和(2.),則為的廣義反身逆陣(generalized reflexive inverse),若四個條件都滿足,則為摩尔-彭若斯广义逆

以下是一些其他種類的广义逆阵

  • 單邊逆矩陣(左逆矩陣或是右逆矩陣)若矩陣A的維度是且為 满秩,若則用左逆矩陣,若則用右逆矩陣。
    • 左逆矩陣為,也就是,其中單位矩陣
    • 右逆矩陣為,也就是,其中 單位矩陣。
  • 德拉任逆矩陣英语Drazin inverse
  • 博特-達芬逆矩陣英语Bott–Duffin inverse
  • 摩尔-彭若斯广义逆

應用[编辑]

任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解,若有解時列出其所有的解[4]。若以下n × m的線性系統有解存在

其中向量為未知數,向量b為常數,以下是所有的解

其中參數w為任意矩陣,而的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若為其中一個解,也就是若且唯若

參考資料[编辑]

  1. ^ Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). [2016-07-10]. 
  2. ^ Pseudo-Inverse of a Matrix. Inst.eecs.berkeley.edu. 2014-02-11 [2016-07-10]. (原始内容存档于2016-08-15). 
  3. ^ Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book
  4. ^ James, M. The generalised inverse. Mathematical Gazette. June 1978, 62: 109–114. doi:10.2307/3617665. 

相關條目[编辑]

外部連結[编辑]