斯坦豪斯-莫澤表示法

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斯坦豪斯-莫澤表示法,又稱斯坦豪斯-莫澤記號斯坦豪斯-莫澤多邊形記號多邊形記號,為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus發明,後來李奧·莫澤英语Leo Moser擴展了該表示法。

斯坦豪斯的多邊形記號[编辑]

斯坦豪斯多邊形記號的定義如下:

  • n放進三角形中 = nn
  • n放進正方形中 = 「n放進n個三角形中」
  • n放進圓形中 = 「n放進n個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數:

  • 2放進圓形中被稱為Mega數
  • 10放進圓形中被稱為Megiston數

莫澤的多邊形記號[编辑]

莫澤多邊形記號是斯坦豪斯多邊形記號的擴張,這個記號不使用圓形,而使用一般的多邊形。

  • n放進三角形中n放進正方形中與斯坦豪斯的記號相同。
  • n放進五邊形中 = 「n放進n個正方形中」(= n放進圓形中
  • 一般來說,「n放進m邊形中」=「n放進nm - 1邊形中」

而「2放進2放進圓形中邊形中」則被稱為莫澤數

中括號表示法[编辑]

紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號:

  • n放進p邊形中」使用來表示。(注意:在本條目中,都是表示某個數字放進正邊形中,並不是第級的超運算,為了避免搞混,第級的超運算在本條目中是使用個向上的箭號表示,見高德納箭號表示法
  • 可以重複使用。例如,「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為
  • n放進kp邊形中」表示為。換句話說,可以定義為

多邊形記號可以使用這種表示法來定義:

  • n放進三角形中
  • n放進正方形中
  • n放進五邊形中 n放進圓形中
  • 一般來說,

上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子:

  • n放進4個三角形中

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示:

  • 2放進圓形中(Mega數)
  • 10放進圓形中(Megiston數)
  • 莫澤數 =

一些例子的計算[编辑]

簡單的例子[编辑]

  • 2[3] = 22 = 4
  • 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256

Mega數[编辑]

2放進圓形中 = 2[5]

= 2[4]2
= 2[4][4]
= 256[4]
= 256[3]256

256[3]n所代表的值如下(n從1開始):

,

這個數字可以「近似」如下:

這個近似值跟實際上差了非常多倍:

通常人們會感覺這兩個數很近,其實差很遠。

類似地,

這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數:

2放進圓形中

如果再採用更簡化的「近似值」,可以推得:

円の中に2

實際上,

円の中に2

如果以10為底,則可表示成:

円の中に2

因此Mega數的範圍為:

円の中に2

Megiston數[编辑]

10放進圓形中 = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]

通過類似於Mega數近似值的近似方法,可得:

(*)

將a換成10,可得:

下式為把開頭的10換成a,11換成b,後面的換成n之後的計算(其中a↑b = ab):

當a, b皆足夠大時:

所以

這是一個近似值。

此時重複上面的操作,直到n = 1為止:

因此,當

(**)

這是一個近似值。

使用(**)式,可得的近似值:

以下的近似值使用(*)和(**)式:

因此,

所以Megiston數大致等於:

10放進圓形中

然而,實際上近似值遠小於真正的Megiston數:

10放進圓形中

莫澤數[编辑]

莫澤數代表2[ 2放進圓形中 ]。由於2放進圓形中是相當巨大的數字,2放進圓形中邊形幾乎跟圓沒有差別,因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管2放進圓形中是非常巨大的,跟10放進圓形中相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式[1],可見莫澤數遠遠小於葛立恆數(因為下式中後者還比葛立恆數小很多):

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的,但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於3↑↑↑…(②-2個箭號)…↑↑↑3。

參見[编辑]

外部連結[编辑]