有序向量空间

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中的一点以及集合(红色)。此处的序定义为当且仅当

数学中,有序向量空间(ordered vector space)是带有偏序向量空间,并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间(partially ordered vector space)。

定义[编辑]

给定实数上的向量空间以及集合上的预序,如果对中任意的以及非负实数,以下公理成立

则有序对称为预序向量空间(preordered vector space)。若还是偏序,则称为有序向量空间。这两条公理说明,平移与正的位似变换是序结构的自同构,并且映射是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群

正锥[编辑]

给定预序向量空间,子集是一个凸锥,称为正锥(positive cone)。若是有序向量空间,则,因此还是真锥。

是实向量空间,的真凸锥,则存在唯一的偏序使得成为有序向量空间并且。这个偏序由以下方式给出

当且仅当

因此,向量空间上(与向量空间结构相容)的偏序与的真凸锥之间存在一一对应。

例子[编辑]

  • 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
  • 以下关系都是上的偏序,且按照从弱到强的顺序排列。
    1. 字典序当且仅当。这是一个全序。正锥由条件给出。用极坐标表示,正锥就是由角度满足的点再加上原点组成。
    2. 当且仅当(这实际上就是两个偏序集的乘积序)。这是一个偏序。正锥由给出。在极坐标中就是,再加上原点。
    3. 当且仅当,也就是两个直积的反射闭包。正锥由给出。在极坐标系中,就是,再加上原点。


只有第二个序是闭集(作为的子集)。

  • 仿照的情况,可以在上定义类似的偏序。例如,仿照上面提到的第二个序,可以定义:
    • 当且仅当
  • 里斯空间是有序向量空间,并且还是
  • 上的连续函数组成的空间,当且仅当对任意

备注[编辑]

偏序向量空间中的区间是凸集。设,由上面的两个公理可以得出:如果,则

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
  • Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.