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有序向量空間

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中的一點以及集合(紅色)。此處的序定義為若且唯若

數學中,有序向量空間(ordered vector space)是帶有偏序向量空間,並且偏序與向量空間的運算是相容的。又稱偏序向量空間(partially ordered vector space)。

定義

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給定實數上的向量空間以及集合上的預序,如果對中任意的以及非負實數,以下公理成立

則有序對稱為預序向量空間(preordered vector space)。若還是偏序,則稱為有序向量空間。這兩條公理說明,平移與正的位似變換是序結構的自同構,並且映射是到對偶序結構的同構。有序向量空間關於其加法運算構成有序群

正錐

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給定預序向量空間,子集是一個凸錐,稱為正錐(positive cone)。若是有序向量空間,則,因此還是真錐。

是實向量空間,的真凸錐,則存在唯一的偏序使得成為有序向量空間並且。這個偏序由以下方式給出

若且唯若

因此,向量空間上(與向量空間結構相容)的偏序與的真凸錐之間存在一一對應。

例子

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  • 實數關於通常的順序構成有序向量空間。
  • 以下關係都是上的偏序,且按照從弱到強的順序排列。
    1. 字典序若且唯若。這是一個全序。正錐由條件給出。用極坐標表示,正錐就是由角度滿足的點再加上原點組成。
    2. 若且唯若(這實際上就是兩個偏序集的乘積序)。這是一個偏序。正錐由給出。在極坐標中就是,再加上原點。
    3. 若且唯若,也就是兩個直積的反射閉包。正錐由給出。在極坐標系中,就是,再加上原點。


只有第二個序是閉集(作為的子集)。

  • 仿照的情況,可以在上定義類似的偏序。例如,仿照上面提到的第二個序,可以定義:
    • 若且唯若
  • 里斯空間是有序向量空間,並且還是
  • 上的連續函數組成的空間,若且唯若對任意

備註

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偏序向量空間中的區間是凸集。設,由上面的兩個公理可以得出:如果,則

參見

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參考文獻

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  • 尼古拉·布爾巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
  • Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.