有效数字

有效数字（significant figures，significant digits，简写 sig figs）或有效数，是能正确表达某物理量数值和精度的一个数或近似数，后者由准确数字和可疑数字组成，或是第1位不为零的数起至第1位不确定的数止，其间的所有数字。使用有效數字表示法的意義在於：測量後所記載的數量（物理量）是一組能夠表示出測量誤差的有意義數（字）。

有效数字是科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字，一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字；例如：1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。

运算

• 加法运算，当对测量值进行加减运算时，应先完成计算，然后对答案四舍五入，看精确到小数点后的位数（以位数少的为准）；

• 減法運算，則為先調整各數的有效位數使與減數中有效位數最小者相同，再進行減法運算。

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除运算，应先对测量值进行计算后，把答案四舍五入到和测量值的最小精度值相同的有效数字位数；

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取对数（不管是常用对数还是自然对数，即不管對數的底數為何），按照有效数字的个数来确定小数点后的位数（位数等于个数）；

• 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数（个数等于位数）；

• 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值

令$x$是某个数量的真值，${\tilde {x}}$是$x$的近似值；$x$与${\tilde {x}}$都用十进制表示。有效数字就是指$x$与${\tilde {x}}$的多少位数字是一致的。确切地说，${\tilde {x}}$有$x$的m位有效数字，则从$x$的左端非零数字所在位起，绝对误差|${\tilde {x}}-x$|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5. 例如：

• 5.1对真值5具有1位有效数字：|5.1-5|=0.1
• 0.51对真值0.5具有1位，而不是2位有效数字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995对真值5具有3位有效数字:|4.995-5|=0.005
• 4.994对真值5具有2位有效数字:|4.994-5|=0.006
• 1.4对真值2具有0位有效数字：|1.4-2|=0.6

如果$x$用科学记数法表示为 $x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}$， 则${\tilde {x}}$有$x$的m位有效数字，如果$|x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}$。 ${\tilde {x}}$有$x$的m位有效数字，则二者相对误差不超过$5\times 10^{-m}$。

外部連結

• Significant Figures Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）
• 有效数字的概念介绍 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 有效数字