極小多項式

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抽象代數中,一個上的代數元 極小多項式(或最小多項式)是滿足 的最低次首一多項式 。此概念對線性代數代數擴張的研究極有助益。

形式定義[编辑]

為一个域, 為有限維 -代數。對任一元素 ,集合 張出有限維向量空間,所以存在非平凡的線性關係 :

可以假設 ,此時多項式 滿足 。根據多項式環裡的除法,可知這類多項式中只有一個次數最小者,稱之為 極小多項式

由此可導出極小多項式的次數等於 ,而且 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零,此時 可以表成 的多項式。

矩陣的極小多項式[编辑]

考慮所有 矩陣構成的 -代數 ,由於 ,此時可定義一個 矩陣之極小多項式,而且其次數至多為 ;事實上,根據凱萊-哈密頓定理,可知其次數至多為 ,且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論(若尔当标准型有理標準形)的關鍵。

極小多項式與代數擴張[编辑]

有限擴張,此時可視 為有限維 -代數。根據的性質,極小多項式必為素多項式。元素的跡數範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。