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{{NoteTA |G1=Math}}
[[File:Measure illustration.png|thumb|测度具有[[单调性]]，如果[[集合 (数学)|集合]]A是集合B的[[子集]]，那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外[[空集]]的测度为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。]]

在[[数学]]中，'''测度'''是一種將[[几何空間]]的[[度量]]（[[长度]]、[[面积]]、[[体积]]）和其他常见概念（如[[大小]]、[[质量]]和[[事件]]的[[概率]]）[[廣義化]]後產生的概念。传统的[[黎曼积分]]是在[[区间]]上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是[[勒贝格测度]]，它從 <math>n</math> 维欧式空间 <math>{\R}^n</math> 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

研究測度的學問被統稱為'''测度论'''，因為指定的數值通常是非負[[实数]]，所以测度论通常會被視為[[实分析]]的一个分支，它在[[数学分析]]和[[概率论]]有重要的地位。

==正式定义==
<!--
在測度論裡，也有把外測度叫測度的，待補充-->
{{math_theorem
|name=定義
|math_statement=
<math> (X,\,\Sigma) </math> 為[[可测空间]]，[[函数]] <math>\mu:\Sigma\to[0,\,\infty) </math> 若满足：
*<math> \mu(\varnothing) = 0 </math> (空集合的测度为零)

* '''可数可加性'''( <math>\sigma</math>-可加性)：  若集合[[序列]] <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 對所有不相等[[正整數]] <math>i\neq j</math> 都有 <math>E_i\cap E_j=\varnothing </math>，則
:<math> \mu\left(\bigcup_{n\in\N} E_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>。

那 <math> \mu </math> 被稱為定義在 <math>\Sigma</math> 上的一個'''非負測度'''，或簡稱為'''測度'''。為了敘述簡便起見，也可稱 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 为一[[测度空间]]。
}}
直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]。

如果將 <math> \mu </math> 的值域擴展到[[複數]]，也就是說 <math>\mu:\Sigma\to\C </math> ，那 <math> \mu </math> 會被進一步稱為'''複數測度'''。<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=124-124}}</ref>

=== 定義的分歧 ===
若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成[[无穷大]]（如對 <math>{\R}^n</math> 本身取[[勒贝格测度]]），所以實際上不存在。但某些書籍<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1984|pages=17-17}}</ref>會形式上將[[无穷大]]視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限[[实数]]值的測度稱為（非負）'''有限測度'''。但這樣"定義"，會造成可數可加性與[[極限 (數列)|數列收斂]]的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義[[勒贝格测度]]），那就必須把[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]換成條件比較寬鬆的{{Link-en|半集合環|Semiring#Semiring_of_sets}}，然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的{{Link-en|前測度|Pre-measure}}。

更進一步的，如果對測度空間 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 來說，母集合 <math>X</math> 可表示為 <math>\Sigma</math> 內的某可測集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的[[并集]]：

:<math>X = \bigcup_{n\in\N} E_n</math>

且 <math> \mu </math> 只容許取有限值，則 <math> \mu </math> 會被進一步的稱為（非負）[[σ-有限测度]]。

==性质==

===单调性===
测度<math>\mu\ </math>的[[单调性]]：
若<math>E_1\ </math>和<math>E_2\ </math>为可测集，而且<math> E_1 \subseteq E_2</math>，则<math> \mu(E_1) \leq \mu(E_2)</math>。

===可数个[[可测集]]的并集的测度===

若<math>E_1, E_2, E_3\cdots</math>为可测集（不必是两两不交的），则集合<math>E_n\ </math>的并集是可测的，且有如下不等式（「[[次可列可加性]]」）：
::<math> \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) </math>
如果还满足并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_n\ </math>⊆<math>E_{n+1}\ </math>，则如下[[扩充实数线#极限|极限式]]成立：
::<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty}  \mu(E_i).</math>

===可数个[[可测集]]的交集的测度===
若<math>E_1,E_2,\cdots</math>为可测集，并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_{n+1}\ </math>⊆<math>E_n\ </math>，则<math>E_n\ </math>的[[交集]]是可测的。进一步说，如果至少一个<math>E_n\ </math>的测度[[扩充实数线#定义|有限]]，则有极限：
::<math> \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) </math>

如若不假设至少一个<math>E_n\ </math>的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个<math>n\in \mathbb{N}</math>，令
::<math> E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}</math>
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

==完备性==
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\Sigma,\,\mu)  </math> 是[[测度空间]]，若<math>N \in \Sigma</math>  且 <math>\mu(N)=0\ </math>，则 <math>N</math> 被称为'''零测集'''（null set ）。

若所有'''零测集'''的子集都可测，则 <math>\mu </math> 称为'''完备的'''（complete）。
}}

直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度：<ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis(Second Edition)|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGRAW-HILL|year=1974|isbn=0070542333|pages=[https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0/page/29 29]-29}}</ref>

{{math_theorem
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 是[[测度空间]]，若取：

:<math>\Sigma^\star
:=
\bigg\{
S  \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
    (A,\, B \in \Sigma)
    \wedge
    (A \subseteq S \subseteq B)
    \wedge
    [\mu(B-A) = 0]
\}
\bigg\} 
</math>

那 <math>\Sigma^\star</math> 是一個[[Σ-代数]]，此時若定義：

:<math>\mu^\star
:=
\bigg\{
\langle S,\,r \rangle \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
    (A,\, B \in \Sigma)
    \wedge
    (A \subseteq S \subseteq B)
    \wedge
    [\mu(B-A) = 0]
    \wedge
    [r = \mu(A)]
\}
\bigg\} 
</math>

那 <math>\mu^\star </math> 是定義在 <math>\Sigma^\star</math> 上的完備測度，且有：

:<math>(\forall S \in \Sigma)[\mu^\star(S) = \mu(S)]</math>
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
|}

==例子==
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
* '''[[计数测度]]'''　定义为<math>\mu(S) = S\ </math>的「[[基数 (数学)|元素个数]]」。
* '''一维[[勒贝格测度]]'''是定义在<math>\mathbb{R}</math>的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、[[平移（数学）|平移]]不变的、满足<math>\mu([0,1])=1\ </math>的唯一测度。
* '''Circular angle测度'''是[[旋转（数学）|旋转]]不变的。
* [[拓撲群#和數學其他領域的關係|局部紧拓扑群]]上的'''[[哈尔测度]]'''是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
* '''恆零测度'''定义为<math>\mu(S) = 0\ </math>，对任意的<math>S\ </math>。
*每一个[[概率空间]]都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓'''[[概率测度]]'''。见[[機率#公理化定義|概率论公理]]。
其它例子，包括：[[狄拉克测度]]、[[波莱尔测度]]、[[若尔当测度]]、[[遍历测度]]、[[欧拉测度]]、[[高斯测度]]、[[贝尔测度]]、[[拉东测度]]。

== 相关条目 ==
* [[外测度]]（Outer measure）
* [[幾乎處處]]（Almost everywhere）
* [[勒贝格测度]]（Lebesgue measure）
* [[勒貝格積分]]
* [[法圖引理]](Fatou's lemma)
* [[富比尼定理]](Fubini's theorem)
* [[可測基數]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* R. M. Dudley, 2002. ''Real Analysis and Probability''. Cambridge University Press.
* D. H. Fremlin, 2000. ''[https://web.archive.org/web/20070206212033/http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm Measure Theory]''. Torres Fremlin.
* [[Paul Halmos]], 1950. ''Measure theory''. Van Nostrand and Co.
* M. E. Munroe, 1953. ''Introduction to Measure and Integration''. Addison Wesley.
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the [[Daniell integral]].
== 外部链接 ==
*{{springer|title=Measure|id=p/m063240}}
*[https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学）] {{Wayback|url=https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf |date=20210117205435 }}
{{Authority control}}
[[Category:测度论| ]]
[[Category:测度| ]]