測度具有單調性 ,如果集合 A是集合B的子集 ,那麼集合A的測度小於或等於集合B的測度。此外空集 的測度為0。例如體積(物體所占據的空間的大小)就是一種測度。
在數學 中,測度 是一種將幾何空間 的度量 (長度 、面積 、體積 )和其他常見概念(如大小 、質量 和事件 的概率 )廣義化 後產生的概念。傳統的黎曼積分 是在區間 上進行的,為了把積分推廣到更一般的集合上,人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度 ,它從
n
{\displaystyle n}
維歐式空間
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
出發,概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。
研究測度的學問被統稱為測度論 ,因為指定的數值通常是非負實數 ,所以測度論通常會被視為實分析 的一個分支,它在數學分析 和概率論 有重要的地位。
定義 —
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma )}
為可測空間 ,函數
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}
若滿足:
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
(空集合的測度為零)
可數可加性 (
σ
{\displaystyle \sigma }
-可加性): 若集合序列
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
對所有不相等正整數
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
都有
E
i
∩
E
j
=
∅
{\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }
,則
μ
(
⋃
n
∈
N
E
n
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
E
n
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}
。
那
μ
{\displaystyle \mu }
被稱為定義在
Σ
{\displaystyle \Sigma }
上的一個非負測度 ,或簡稱為測度 。為了敘述簡便起見,也可稱
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
為一測度空間 。
直觀上,測度是「體積」的推廣;因為空集合的「體積」當然為零,而且互相獨立的一群(可數個)物體,總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總(的極限)。而要定義「體積」,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ -代數 。
如果將
μ
{\displaystyle \mu }
的值域擴展到複數 ,也就是說
μ
:
Σ
→
C
{\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }
,那
μ
{\displaystyle \mu }
會被進一步稱為複數測度 。[ 1]
若照著上述定義,根據可數可加性,不少母集合本身的測度值會變成無窮大 (如對
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
本身取勒貝格測度 ),所以實際上不存在。但某些書籍[ 2] 會形式上將無窮大 視為一個數,而容許測度取值為無窮大;這樣定義的書籍,會把只容許有限實數 值的測度稱為(非負)有限測度 。但這樣"定義",會造成可數可加性與數列收斂 的定義產生矛盾。
所以要延續體積是一種"度量"的這種直觀概念(也就是嚴謹的定義勒貝格測度 ),那就必須把σ -代數 換成條件比較寬鬆的半集合環 ,然後以此為基礎去定義一個對應到"體積"的前測度 。
更進一步的,如果對測度空間
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
來說,母集合
X
{\displaystyle X}
可表示為
Σ
{\displaystyle \Sigma }
內的某可測集合序列
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
的併集 :
X
=
⋃
n
∈
N
E
n
{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}
且
μ
{\displaystyle \mu }
只容許取有限值,則
μ
{\displaystyle \mu }
會被進一步的稱為(非負)σ-有限測度 。
測度
μ
{\displaystyle \mu \ }
的單調性 :
若
E
1
{\displaystyle E_{1}\ }
和
E
2
{\displaystyle E_{2}\ }
為可測集,而且
E
1
⊆
E
2
{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}
,則
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
。
若
E
1
,
E
2
,
E
3
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }
為可測集(不必是兩兩不交的),則集合
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的併集是可測的,且有如下不等式(「次可列可加性 」):
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}
如果還滿足並且對於所有的
n
{\displaystyle n\ }
,
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
⊆
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
,則如下極限式 成立:
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
.
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}
若
E
1
,
E
2
,
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }
為可測集,並且對於所有的
n
{\displaystyle n\ }
,
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
⊆
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
,則
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的交集 是可測的。進一步說,如果至少一個
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的測度有限 ,則有極限:
μ
(
⋂
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}
如若不假設至少一個
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的測度有限,則上述性質一般不成立。例如對於每一個
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,令
E
n
=
[
n
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
這裡,全部集合都具有無限測度,但它們的交集是空集。
直觀上,因為測度的單調性,只要包含於零測集的集合,也「應該」是零測集,完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的,任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度:[ 3]
定理 —
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
是測度空間 ,若取:
Σ
⋆
:=
{
S
|
(
S
⊆
X
)
∧
(
∃
A
)
(
∃
B
)
{
(
A
,
B
∈
Σ
)
∧
(
A
⊆
S
⊆
B
)
∧
[
μ
(
B
−
A
)
=
0
]
}
}
{\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}}
那
Σ
⋆
{\displaystyle \Sigma ^{\star }}
是一個Σ-代數 ,此時若定義:
μ
⋆
:=
{
⟨
S
,
r
⟩
|
(
S
⊆
X
)
∧
(
∃
A
)
(
∃
B
)
{
(
A
,
B
∈
Σ
)
∧
(
A
⊆
S
⊆
B
)
∧
[
μ
(
B
−
A
)
=
0
]
∧
[
r
=
μ
(
A
)
]
}
}
{\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}}
那
μ
⋆
{\displaystyle \mu ^{\star }}
是定義在
Σ
⋆
{\displaystyle \Sigma ^{\star }}
上的完備測度,且有:
(
∀
S
∈
Σ
)
[
μ
⋆
(
S
)
=
μ
(
S
)
]
{\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]}
下列是一些測度的例子(順序與重要性無關)。
計數測度 定義為
μ
(
S
)
=
S
{\displaystyle \mu (S)=S\ }
的「元素個數 」。
一維勒貝格測度 是定義在
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移 不變的、滿足
μ
(
[
0
,
1
]
)
=
1
{\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }
的唯一測度。
Circular angle測度 是旋轉 不變的。
局部緊拓撲群 上的哈爾測度 是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
恆零測度 定義為
μ
(
S
)
=
0
{\displaystyle \mu (S)=0\ }
,對任意的
S
{\displaystyle S\ }
。
每一個概率空間 都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間[0,1]中)。這就是所謂概率測度 。見概率論公理 。
其它例子,包括:狄拉克測度 、波萊爾測度 、若爾當測度 、遍歷測度 、歐拉測度 、高斯測度 、貝爾測度 、拉東測度 。
R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability . Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory . Torres Fremlin.
Paul Halmos , 1950. Measure theory . Van Nostrand and Co.
M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration . Addison Wesley.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . Emphasizes the Daniell integral .