皮匠刀問題

皮匠刀（填色部分）及其內的帕普斯鏈

幾何學中，皮匠刀問題（中國和日本常稱為圓內容累圓術）研究皮匠刀中一列互相外切又與皮匠刀的邊界相切的圓的性質。皮匠刀是三個半圓所包圍的部分，在大半圓直徑$AB$上任取一點$C$，以$AC$及$CB$為直徑在同一方向分別作半圓，便得到了皮匠刀。帕普斯證明了該列互相外切的圓的半徑與其圓心到$AB$距離的關係。此列圓又稱為帕普斯鏈（Pappus chain）。

問題概述

設在皮匠刀內有一連串互相外切的圓$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$、⋯（同時又切於兩半圓的弧），則各圓圓心$Q_{n}$到直線$AB$的距離$D_{n}$及其半徑$r_{n}$、滿足

$$D_{n}=2nr_{n}$$

證明

反演證法

皮匠刀問題的反演證法

以點$A$為反演中心作與圓$Q_{n}$正交的圓。以$AB$及$AC$為直徑的半圓會被反演成垂直於$AB$，與$Q_{n}$相切的兩條射線$Q_{AC}^{*}$及$Q_{AB}^{*}$。而$Q_{1}$到$Q_{n-1}$的其他圓則會被反演成直徑相等，互相外切且與$Q_{AC}^{*}$及$Q_{AB}^{*}$這兩條平行線相切的一連串的圓。而以$BC$為直徑的半圓反演變換後的圖像類似於$Q_{1}^{*}$，而其圓心在$AB$上。由圖像易知上等式成立。