皮匠刀问题
外观
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Pappus_Chain_Position_Phenomina.svg/220px-Pappus_Chain_Position_Phenomina.svg.png)
几何学中,皮匠刀问题(中国和日本常称为圆内容累圆术)研究皮匠刀中一列互相外切又与皮匠刀的边界相切的圆的性质。皮匠刀是三个半圆所包围的部分,在大半圆直径上任取一点,以及为直径在同一方向分别作半圆,便得到了皮匠刀。帕普斯证明了该列互相外切的圆的半径与其圆心到距离的关系。[1]此列圆又称为帕普斯链(Pappus chain)。
问题概述
[编辑]设在皮匠刀内有一连串互相外切的圆、、、⋯(同时又切于两半圆的弧),则各圆圆心到直线的距离及其半径、满足
证明
[编辑]反演证法
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/The_Shoemaker%27s_Knife_Problem_Inversion.jpg/220px-The_Shoemaker%27s_Knife_Problem_Inversion.jpg)
以点为反演中心作与圆正交的圆。以及为直径的半圆会被反演成垂直于,与相切的两条射线及。而到的其他圆则会被反演成直径相等,互相外切且与及这两条平行线相切的一连串的圆。而以为直径的半圆反演变换后的图像类似于,而其圆心在上。由图像易知上等式成立。 [2]
参考资料
[编辑]- ^ 梁, 宗巨. 數學歷史典故,帕波斯 (PDF). 辽宁教育出版社. 1992: 248–249 [2023-01-22]. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-22).
- ^ Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 157–158. ISBN 978-1-61444-411-4.