皮匠刀问题

皮匠刀（填色部分）及其内的帕普斯链

几何学中，皮匠刀问题（中国和日本常称为圆内容累圆术）研究皮匠刀中一列互相外切又与皮匠刀的边界相切的圆的性质。皮匠刀是三个半圆所包围的部分，在大半圆直径$AB$上任取一点$C$，以$AC$及$CB$为直径在同一方向分别作半圆，便得到了皮匠刀。帕普斯证明了该列互相外切的圆的半径与其圆心到$AB$距离的关系。此列圆又称为帕普斯链（Pappus chain）。

问题概述

设在皮匠刀内有一连串互相外切的圆$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$、⋯（同时又切于两半圆的弧），则各圆圆心$Q_{n}$到直线$AB$的距离$D_{n}$及其半径$r_{n}$、满足

$$D_{n}=2nr_{n}$$

证明

反演证法

皮匠刀问题的反演证法

以点$A$为反演中心作与圆$Q_{n}$正交的圆。以$AB$及$AC$为直径的半圆会被反演成垂直于$AB$，与$Q_{n}$相切的两条射线$Q_{AC}^{*}$及$Q_{AB}^{*}$。而$Q_{1}$到$Q_{n-1}$的其他圆则会被反演成直径相等，互相外切且与$Q_{AC}^{*}$及$Q_{AB}^{*}$这两条平行线相切的一连串的圆。而以$BC$为直径的半圆反演变换后的图像类似于$Q_{1}^{*}$，而其圆心在$AB$上。由图像易知上等式成立。