皮匠刀問題
外觀
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Pappus_Chain_Position_Phenomina.svg/220px-Pappus_Chain_Position_Phenomina.svg.png)
幾何學中,皮匠刀問題(中國和日本常稱為圓內容累圓術)研究皮匠刀中一列互相外切又與皮匠刀的邊界相切的圓的性質。皮匠刀是三個半圓所包圍的部分,在大半圓直徑上任取一點,以及為直徑在同一方向分別作半圓,便得到了皮匠刀。帕普斯證明了該列互相外切的圓的半徑與其圓心到距離的關係。[1]此列圓又稱為帕普斯鏈(Pappus chain)。
問題概述
[編輯]設在皮匠刀內有一連串互相外切的圓、、、⋯(同時又切於兩半圓的弧),則各圓圓心到直線的距離及其半徑、滿足
證明
[編輯]反演證法
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/The_Shoemaker%27s_Knife_Problem_Inversion.jpg/220px-The_Shoemaker%27s_Knife_Problem_Inversion.jpg)
以點為反演中心作與圓正交的圓。以及為直徑的半圓會被反演成垂直於,與相切的兩條射線及。而到的其他圓則會被反演成直徑相等,互相外切且與及這兩條平行線相切的一連串的圓。而以為直徑的半圓反演變換後的圖像類似於,而其圓心在上。由圖像易知上等式成立。 [2]
參考資料
[編輯]- ^ 梁, 宗巨. 數學歷史典故,帕波斯 (PDF). 遼寧教育出版社. 1992: 248–249 [2023-01-22]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-01-22).
- ^ Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 157–158. ISBN 978-1-61444-411-4.