紐結多項式

在數學的紐結理論中，扭結多項式指的是一類以多項式表達的紐結不變量(knot invariant)，而此類多項式的係數則表示它所代表的紐結的一些性質。

歷史

第一個已知的紐結多項式，也就是所謂的亞歷山大多項式(Alexander polynomial)，是由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大在1923年引進的，但其他的紐結多項式卻一直都沒找到，直到近六十年後。

在1960年代，約翰·何頓·康威找出了一個對於亞歷山大多項式的某版本的糾結關係(skein relation)，這又被稱為所謂的康威─亞歷山大多項式(Alexander–Conway polynomial)。糾結關係的重要性直到1980年代前期佛漢‧鍾斯(Vaughan Jones)發現鍾斯多項式(Jones polynomial)前都未被理解。這導致了更多紐結多項式的發現，如所謂的HOMFLY多項式。

鍾斯發現該多項式不久後，路易‧考夫曼(Louis Kauffman)便注意到說鍾斯多項式可藉由狀態和模型(state-sum model)來計算，這牽涉到所謂的括號多項式(Bracket polynomial)，該多項式為框多項式(framed knot)的一個不變量。這開啟了連結紐結理論和统计力学間關係的研究。

在1980年代晚期，這方面有兩個重要的突破。愛德華‧衛頓(Edward Witten)指出了鍾斯多項式及相似的鍾斯式不變量，有個以陳─西蒙斯理論(Chern–Simons theory)進行解釋的方法。維克托‧瓦西里耶夫(Viktor Vassiliev)和米哈伊爾‧高薩羅夫(Mikhail Goussarov)則開始了紐結的有限類不變量(finite type invariant)的理論。

近年來，亞歷山大多項式已被證明與弗洛爾同調(Floer homology)相關。

相關書目

• Colin Adams, The Knot Book, American Mathematical Society, ISBN 0-8050-7380-9
• W. B. R. Lickorish, An introduction to knot theory. Graduate Texts in Mathematics, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-98254-X

參見

特定的紐結多項式

• 亞歷山大多項式(Alexander polynomial)
• 括號多項式(Bracket polynomial)
• HOMFLY多項式
• 鍾斯多項式(Jones polynomial)
• 考夫曼多項式(Kauffman polynomial)

相關主題

• 糾結關係(skein relation)