連通和

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數學裡,尤其是在拓撲學裡,連通和的運算是指一於流形上的幾何改變。其效果為將兩個給定的流形於各個選定的點附近連接起來。此一建構在閉曲面分類上有著關鍵性的角色。

更一般地,也可以將流形和其子流形連接起來;此一廣義化通常稱為纖維和。另外還有在上之連通和的一相關概念,其稱為結和或結的複合

於一點上的連通和[编辑]

兩個m流形連通和為一流形,其將兩個流形各挖去一個,再將球面邊界黏在一起

若兩個流形是可定向的,由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇,但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上,而其結果也會於微分同胚下統一。

連通和的運算標記為\#;例如,A \# B即表示為AB的連通和。

連通和的運算中有一球面S^m單位元;亦即,M \# S^m會同胚(或微分同構)於M

閉球面的分類,在拓撲學上的一基本及重大結果,其描述为:任一閉曲面均可表示成g環面k實射影平面的連通和。

沿着一个子空间的连通和[编辑]

M_1M_2為兩個光滑、可定向且相同維度的流形,及V為一光滑、封閉且可定向的流形,可內嵌成M_1M_2的子流形。此外,再假設其存在一法叢的同構

\psi: N_{M_1} V \to N_{M_2} V

其將每一纖維的定向顛倒。然後,ψ便可導出一定向保留的微分同構

N_1 \setminus V \cong N_{M_1} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \cong N_2 \setminus V,

其中,每一法叢N_{M_i} V都會微分同構地和於M_iV的鄰域N_i一致,且映射

N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V

另見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
  • William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.