自由布尔代数

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数学分支抽象代数中,自由布尔代数布尔代数 <B,F>,使得集合 B (叫做“载体”)有其中元素叫做生成元子集。生成元满足下列性质:

  • 不是生成元的每个 B 的元素都可被表达为生成元的使用 F 的元素的有限组合,F运算的集合;
  • 生成元尽可能的独立,因为对从生成元使用 F 中运算形成的有限成立的任何等式,也要对于所有可能的布尔代数的所有元素成立。

例子[编辑]

X or ¬X ¬A or ¬B A or ¬B ¬A or B A or B ¬B ¬A A xor B A xnor B A B ¬A and ¬B A and ¬B ¬A and B A and B X and ¬X
有两个产生元 A 和 B 的自由布尔代数的哈斯图。采用 A 为"John 高" 和 B 为 "Mary 富"。原子是在 FALSE 紧上面的行中的四个元素。

自由布尔代数的生成元可以代表独立命题。例如,我们可以考虑两个命题 "John 高" 和 "Mary 富"。这生成了有四个原子的自由布尔代数,它们就是

  1. John 高且 Mary 富
  2. John 高且 Mary 不富
  3. John 不高且 Mary 富
  4. John 不高且 Mary 不富

布尔代数的其他元素接着是这些原子的逻辑析取,比如 "John 高且 Mary 不富,或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外还有一个元素 FALSE,它不是原子的析取(尽管它可以被认为是空析取;就是说没有原子的析取)。

这个例子产生了有 16 个元素的布尔代数;一般的说,对于有限的 n,有 n 个生成元的自由布尔代数有 2n 个原子,因此有 个元素。

对于无限多个生成元,情况是非常相似的,除了没有原子之外。布尔代数的所有元素都是有限多个生成命题的组合;两个这种元素被认为是相同的如果它们是逻辑等价的。

范畴论定义[编辑]

更加正式的使用范畴论的概念,在生成元集合 S 上自由布尔代数是一个有序对 (π,B),这里有

  1. π: SB 是映射,
  2. B 是布尔代数,

并且关于这个性质是通用的。这意味着对于任何布尔代数 B1 和映射 π1: S → B1,有一个唯一的同态 f: BB1 使得

这个泛性质也可以公式化为叫做逗号范畴的初始性质。

“唯一”(在同构的意義下)是从这个泛性质立即得出的性质。注意映射 π 可以被证明是单射的。所以任何自由布尔代数 B 都这样的性质,有一个 B子集 S,叫做 B生成元集合,使得从 S 到布尔代数 B1 的任何映射唯一的扩展为从 BB1 的同态。

拓扑实现[编辑]

有κ个生成元的自由布尔代数,这里的κ是有限或无限的基数,可以被实现为 {0,1}κ闭开子集的搜集,给定乘积拓扑假定 {0,1} 有离散拓扑。对于每个α<κ,第α个生成元是其第α个坐标是 1 的 {0,1}κ的所有元素的集合。特别是,有 个生成元的自由布尔代数是康托尔空间的所有闭开子集的搜集。另人惊奇的,这个搜集是可数的。事实上,尽管有有限 n 个生成元的布尔代数,n ,带有 个生成元的自由布尔代数有势

自由布尔代数的拓扑方式详情请参见Stone布尔代数表示定理

引用[编辑]

参见[编辑]