自由布爾代數

在數學分支抽象代數中，自由布爾代數是布爾代數 <B,F>，使得集合 B (叫做「載體」)有其中元素叫做生成元的子集。生成元滿足下列性質:

• 不是生成元的每個 B 的元素都可被表達為生成元的使用 F 的元素的有限組合，F 是運算的集合；
• 生成元儘可能的獨立，因為對從生成元使用 F 中運算形成的有限項成立的任何等式，也要對於所有可能的布爾代數的所有元素成立。

例子

自由布爾代數的生成元可以代表獨立命題。例如，我們可以考慮兩個命題 "John 高" 和 "Mary 富"。這生成了有四個原子的自由布爾代數，它們就是

1. John 高且 Mary 富
2. John 高且 Mary 不富
3. John 不高且 Mary 富
4. John 不高且 Mary 不富

布爾代數的其他元素接着是這些原子的邏輯析取，比如 "John 高且 Mary 不富，或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外還有一個元素 FALSE，它不是原子的析取(儘管它可以被認為是空析取；就是說沒有原子的析取)。

這個例子產生了有 16 個元素的布爾代數；一般的說，對於有限的 n，有 n 個生成元的自由布爾代數有 2ⁿ 個原子，因此有 $2^{2^{n}}$ 個元素。

對於無限多個生成元，情況是非常相似的，除了沒有原子之外。布爾代數的所有元素都是有限多個生成命題的組合；兩個這種元素被認為是相同的如果它們是邏輯等價的。

範疇論定義

更加正式的使用範疇論的概念，在生成元集合 S 上自由布爾代數是一個有序對 (π,B)，這裡有

1. π: S → B 是映射，
2. B 是布爾代數，

並且關於這個性質是通用的。這意味着對於任何布爾代數 B₁ 和映射 π₁: S → B₁，有一個唯一的同態 f: B → B₁ 使得

$\pi _{1}=f\circ \pi .$

這個泛性質也可以公式化為叫做逗號範疇的初始性質。

「唯一」（在同構的意義下）是從這個泛性質立即得出的性質。注意映射 π 可以被證明是單射的。所以任何自由布爾代數 B 都這樣的性質，有一個 B 的子集 S，叫做 B 的生成元集合，使得從 S 到布爾代數 B₁ 的任何映射唯一的擴展為從 B 到 B₁ 的同態。

拓撲實現

有κ個生成元的自由布爾代數，這裡的κ是有限或無限的基數，可以被實現為 {0,1}^κ的閉開的子集的搜集，給定乘積拓撲假定 {0,1} 有離散拓撲。對於每個α<κ，第α個生成元是其第α個坐標是 1 的 {0,1}^κ的所有元素的集合。特別是，有 $\aleph _{0}$ 個生成元的自由布爾代數是康托爾空間的所有閉開子集的搜集。另人驚奇的，這個搜集是可數的。事實上，儘管有有限 n 個生成元的布爾代數，n 有勢 $2^{2^{n}}$，帶有 $\aleph _{0}$ 個生成元的自由布爾代數有勢 $\aleph _{0}$。

自由布爾代數的拓撲方式詳情請參見Stone布爾代數表示定理。

引用

• Paul Halmos and Steven Givant (1998) Logic as Algebra. Mathematical Association of America.
• Saunders Mac Lane (1999) Algebra, 3d. ed. American Mathematical Society. ISBN 0-821-81646-2.
• Stoll, R. R., 1963. Set Theory and Logic, chpt. 6.7. Dover reprint 1979.

參見

• 自由對象