貝爾特拉米等式

貝爾特拉米等式是變分法中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數u是以下積分的極值

I(u)=\int _{a}^{b}L(x,u,u')\,dx

則符合以下微分方程：

{\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0.

若L是力學系統中的拉格朗日量，且L並非x的顯函數，即拉格朗日量並非時間的顯函數，那麼，貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。

証明

定義共軛動量p為L的偏微分

p={\partial L \over \partial u'}

{dp \over dx}-{\partial L \over \partial u}=0

即

p'={\partial L \over \partial u}

再定義哈密頓量H為L之勒壤得轉換：

H=pu'-L\,

則

H'={dH \over dx}=p'u'+pu''-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial u}u'-{\partial L \over \partial x}

其中第二及第三項相抵，根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程，第一及第四項亦相抵，所以給出貝爾特拉米等式：

H'=-{\partial L \over \partial x}

此亦是諾特定理的特例。

若L獨立於x，則貝爾特拉米等式說明H為一常數：

-H'={\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)=0

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。

例如最速降線問題，求最小化以下積分之曲線：

\int _{0}^{1}{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}dx

其中，將積分最小化的函數L與時間無關，

L(y,y')={{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}

故此相關之哈密頓量為常數：

H=py'-L={y'^{2} \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}={-1 \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}

{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}={\text{constant}}

所以前述方程轉化為擺線之微分方程。