貝爾特拉米等式

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貝爾特拉米等式變分法中的一等式,由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是,若函數u是以下積分的極值

I(u)=\int_a^b L(x,u,u') \, dx

則符合以下微分方程:


\frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.

L是力學系統中的拉格朗日量,且L並非x顯函數,即拉格朗日量並非時間的顯函數,那麼,貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。

証明[编辑]

定義共軛動量pL的偏微分

 p = {\partial L \over \partial u'}

歐拉-拉格朗日方程給出

 {dp\over dx} - {\partial L \over \partial u} = 0

 p' = {\partial L \over \partial u}

再定義哈密頓量HL勒壤得轉換

 H = p u' - L \,

 H' = {dH \over dx} = p' u' + p u'' - {\partial L \over \partial u'} u'' - {\partial L \over \partial u} u' - {\partial L \over \partial x}

其中第二及第三項相抵,根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程,第一及第四項亦相抵,所以給出貝爾特拉米等式:

 H' = - {\partial L \over \partial x}

此亦是諾特定理的特例。

應用[编辑]

L獨立於x,則貝爾特拉米等式說明H為一常數:

 - H' = \frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right) = 0

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程,而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。

例如最速降線問題,求最小化以下積分之曲線:

 \int_0^1 {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}} dx

其中,將積分最小化的函數L與時間無關,

 L(y,y') = {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}}

故此相關之哈密頓量為常數:

 H = p y' - L = {y'^2 \over \sqrt{1+y'^2} \sqrt{y}} - {\sqrt{1+y'^2}\over \sqrt{y}} = {-1 \over \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y}}
 \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y} = \text{constant}

所以前述方程轉化為擺線之微分方程。

外部鏈接[编辑]