貝爾特拉米等式

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貝爾特拉米等式變分法中的一等式,由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是,若函數u是以下積分的極值

則符合以下微分方程:

L是力學系統中的拉格朗日量,且L並非x顯函數,即拉格朗日量並非時間的顯函數,那麼,貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。

証明[编辑]

定義共軛動量pL的偏微分

歐拉-拉格朗日方程給出

再定義哈密頓量HL勒壤得轉換

其中第二及第三項相抵,根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程,第一及第四項亦相抵,所以給出貝爾特拉米等式:

此亦是諾特定理的特例。

應用[编辑]

L獨立於x,則貝爾特拉米等式說明H為一常數:

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程,而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。

例如最速降線問題,求最小化以下積分之曲線:

其中,將積分最小化的函數L與時間無關,

故此相關之哈密頓量為常數:

所以前述方程轉化為擺線之微分方程。

外部連結[编辑]