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勒壤得轉換

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xy-圖展示出函數 的勒壤得轉換。函數用紅色表示,在切點 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 ;這裏, 是勒壤得轉換 的值, 。特別注意,穿過在紅線上任何其它點,而擁有同樣斜率 的直線,其與 y-軸相交點必定比點 高,證明 確實是極大值。

勒壤得轉換Legendre transformationLegendre transform)。為一個在數學物理中常見的技巧。在物理中應用在熱力學古典力學中。

概述[编辑]

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構,表述此系統的函數關係 改用一個新函數 來表示,其變數 導數 。而 的值是如右圖藍線在 y 軸的截距

換句話說,從 x 值到 y 值的函數,轉換成 f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的,因此稱為勒壤得轉換。稱函數 的勒壤得轉換;

用方程式表示

此式子表示 中的 u 對 而言是個參數,且參數 u 會滿足 。即求算表達式關於變數 極值


為方便討論,把討論限定在 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 也就是斜率不變的狀況下,對每個而言,所有與曲線相交且斜率為的直線族為 。若令,該直線即是的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知,在的情況下,值是最小的,也就是說直線方程式中這部分是最大的,而正好 ,正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係duality)的一個應用。函數 設定的函數關係可以用 點集合來表示;也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下,切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。


若將勒壤得轉換廣義化,則會變為勒壤得-芬伽轉換Legendre-Fenchel transformation)。勒壤得轉換時常用於熱力學哈密頓力學

定義[编辑]

最大值式定義[编辑]

更詳細地定義勒壤得轉換,為了求得 關於 的最大值,設定 關於 的偏導數為零:

(1)

這表達式必為最大值。因為,凸函數 的二阶导数是負數:

用方程式 (1) 來計算函數 的反函數 。代入 方程式,即可以得到想要的形式:

計算 的勒壤得轉換,所需的步驟為:

  1. 找出导函數
  2. 計算导函數 的反函數
  3. 代入 方程式來求得新函數

這定義切確地闡明:勒壤得轉換製造出一個新函數 ;其新自變數為

反函數式定義[编辑]

另外一種勒壤得轉換的定義是:假若兩個函數 的一階導數是互相的反函數;

或者,

互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義,

思考下述運算:

所以,

這裏,

這答案是標準答案;但並不是唯一的答案。設定

也可以滿足定義的要求。在某些情況下(例如:熱力勢thermodynamic potential),會採用非標準的答案。除非另外註明,此頁面一律採用標準答案。

數學性質[编辑]

以下討論,函數 的勒壤得轉換皆標記為

標度性質[编辑]

勒壤得轉換有以下這些標度性質:

由此可知,一個 齊次函數的勒壤得轉換是一個 次齊次函數;這裏,

平移性質[编辑]

反演性質[编辑]

線形變換性質[编辑]

成為一個從 的線形變換。對於任何定義域為 的凸函數 ,必有

這裏,伴隨算子定義為

應用[编辑]

熱力學[编辑]

熱力學裏,使用勒壤得轉換主要的目的是,將一個函數與所含有的一個自變數,轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數,(此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數);將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積,得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢thermodynamic potential)之間作轉換。例如,內能 外延量extensive 體積 ,與化學成份chemical composition 的顯函數

對於 ,函數 (非標準的)勒壤得轉換為函數

一個熵與內含量intensive壓力的函數。當壓力是常數時,這函數很有用。

對於 ,函數 勒壤得轉換為吉布斯能函數  :

對於 ,函數 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數  :

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學)[编辑]

經典力學裏,勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述,或反導之。拉格朗日量 廣義坐標 廣義速度 的函數;而哈密頓量 將函數的自變量轉換為廣義坐標 廣義動量

正則變換[编辑]

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變, ,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

這裏, 是舊正則坐標, 是新正則坐標, 是舊哈密頓量, 是新哈密頓量,生成函數

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.