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勒让德变换

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xy-图展示出函数 的勒让德变换。函数用红色表示,在切点 的切线用蓝色表示。切线与 y-轴相交于点 ;这里, 是勒让德变换 的值, 。特别注意,穿过在红线上任何其它点,而拥有同样斜率 的直线,其与 y-轴相交点必定比点 高,证明 确实是极大值。

勒让德变换(英语:Legendre transformation)是一个在数学和物理中常见的技巧,得名于阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre)。该操作是一个实变量的实值凸函数对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式哈密顿形式的推导、热力学热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

概述

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为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构,表述此系统的函数关系 改用一个新函数 来表示,其变量 导数 。而 的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距

换句话说,从 x 值到 y 值的函数,变换成 f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

这程序是由阿德里安-马里·勒让德所发明的,因此称为勒让德变换。称函数 的勒让德变换;

用方程表示

此式子表示 中的 u 对 而言是个参数,且参数 u 会满足 。即求算表达式关于变量 极值


为方便讨论,把讨论限定在 为严格单调递增。会有这方程是因为在 也就是斜率不变的状况下,对每个而言,所有与曲线相交且斜率为的直线族为 。若令,该直线即是的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知,在的情况下,值是最小的,也就是说直线方程中这部分是最大的,而正好 ,正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系duality)的一个应用。函数 设定的函数关系可以用 点集合来表示;也可以用切线(在严格单调递增的讨论下,切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化,则会变为勒让德-芬伽变换Legendre-Fenchel transformation)。勒让德变换时常用于热力学哈密顿力学

定义

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给定区间I ⊂ ℝ凸函数f : I → ℝ,则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ

其中表示上确界定义域

f(x)凸函数时,这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函数f : X → ℝ:其变换f * : X* → ℝ为定义在

上的函数

其中表示x*x点积

从导数的角度理解勒让德变换

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对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数,其勒让德变换 的一阶导数与的一阶导数互为反函数,反过来说,这个条件可以给出至多相差一个常数的

最大值式定义

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更详细地定义勒让德变换,为了求得 关于 的最大值,设定 关于 的偏导数为零:

(1)

这表达式必为最大值。因为,凸函数 的二阶导数是负数:

用方程 (1) 来计算函数 的反函数 。代入 方程,即可以得到想要的形式:

计算 的勒让德变换,所需的步骤为:

  1. 找出导函数
  2. 计算导函数 的反函数
  3. 代入 方程来求得新函数

这定义切确地阐明:勒让德变换制造出一个新函数 ;其新自变量为

反函数式定义

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另外一种勒让德变换的定义是:假若两个函数 的一阶导数是互相的反函数;

或者,

互相为彼此的勒让德变换。

依照定义,

思考下述运算:

所以,

这里,

这答案是标准答案;但并不是唯一的答案。设定

也可以满足定义的要求。在某些情况下(例如:热力势thermodynamic potential),会采用非标准的答案。除非另外注明,此页面一律采用标准答案。

数学性质

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以下讨论,函数 的勒让德变换皆标记为

标度性质

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勒让德变换有以下这些标度性质:

由此可知,一个 齐次函数的勒让德变换是一个 次齐次函数;这里,

平移性质

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反演性质

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线形变换性质

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成为一个从 的线形变换。对于任何定义域为 的凸函数 ,必有

这里,伴随算子定义为

例子

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例一

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ex(红色实线)与其勒让德变换(蓝色虚线)。

指数函数

的勒让德变换为

因为它们的一阶导数 exln p互为反函数。

应用

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勒让德变换

热力学

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热力学里,使用勒让德变换主要的目的是,将一个函数与所含有的一个自变量,变换为一个新函数与所含有的一个新自变量,(此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数);将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积,得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势thermodynamic potential)之间作变换。例如,内能 外延量extensive 体积 ,与化学成分chemical composition 的显函数

对于 ,函数 (非标准的)勒让德变换为函数

一个熵与内含量intensive压力的函数。当压力是常数时,这函数很有用。

对于 ,函数 勒让德变换为吉布斯能函数  :

对于 ,函数 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数  :

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

经典力学(哈密顿力学)

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经典力学里,勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述,或反导之。拉格朗日量 广义坐标 广义速度 的函数;而哈密顿量 将函数的自变量变换为广义坐标 广义动量

正则变换

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正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变, ,而同时维持哈密顿方程的形式,虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

这里, 是旧正则坐标, 是新正则坐标, 是旧哈密顿量, 是新哈密顿量,生成函数

参阅

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参考文献

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  • Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.