贝尔特拉米等式是变分法中的一等式,由贝尔特拉于1868年发现。它所表达的是,若函数u是以下积分的极值
![{\displaystyle I(u)=\int _{a}^{b}L(x,u,u')\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b98c03290e053d3ce90f7682d5e409a6d138183)
则符合以下微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f62a552fb15796aacdfd40014bf1296f5eaa81)
若L是力学系统中的拉格朗日量,且L并非x的显函数,即拉格朗日量并非时间的显函数,那么,贝尔特拉米等式表明其哈密顿量是一守恒能量。
定义共轭动量p为L的偏微分
![{\displaystyle p={\partial L \over \partial u'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dabe789bc1f088c96a782a710c352039a2bac6)
则欧拉-拉格朗日方程给出
![{\displaystyle {dp \over dx}-{\partial L \over \partial u}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269565a54b79cafac805390436afcd42015ea5e7)
即
![{\displaystyle p'={\partial L \over \partial u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5575356aec9b0c264a1eadfb4e85c78a77916)
再定义哈密顿量H为L之勒壤得转换:
![{\displaystyle H=pu'-L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3882cf438a5d7ff525ec2ae1ec3b5ee7e8b5665e)
则
![{\displaystyle H'={dH \over dx}=p'u'+pu''-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial u}u'-{\partial L \over \partial x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94b0e6ff9fb8e7a42a3f789761b858b1f51bc89)
其中第二及第三项相抵,根据p之定义及欧拉-拉格朗日方程,第一及第四项亦相抵,所以给出贝尔特拉米等式:
![{\displaystyle H'=-{\partial L \over \partial x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52801731570b6a72519161ebe5638de2565863ea)
此亦是诺特定理的特例。
若L独立于x,则贝尔特拉米等式说明H为一常数:
![{\displaystyle -H'={\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef25d5900be767621aeb445f049cdc78c57b365)
此可用作求欧拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恒律解牛顿力学一样。H为常数给出u的一阶导数方程,而欧拉-拉格朗日方程则为u的二阶导数方程。
例如最速降线问题,求最小化以下积分之曲线:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bf84d2bc4cc943fd0aeab1430311cbd46fc25)
其中,将积分最小化的函数L与时间无关,
![{\displaystyle L(y,y')={{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f86f73a87952887dbeae8973723e66848cd1df6)
故此相关之哈密顿量为常数:
![{\displaystyle H=py'-L={y'^{2} \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}={-1 \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9779f009c7c06958d5d1c0c7e3c00d735c395bc8)
![{\displaystyle {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}={\text{constant}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57899489e6c80824393557b79c391fcfd484640)
所以前述方程转化为摆线之微分方程。
外部链接[编辑]