雙調和方程式

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在數學中,雙調和方程是一個四階偏微分方程式,出現在連體力學,包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成

  為四階的 Nabla算子,或是拉普拉斯算子的平方,稱為雙調和算子。 在 n 維座標下,以爱因斯坦求和约定可寫成 

例如,在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做

另外一個例子,在 n-维歐幾里得空間

其中

n=3 和 n=5  才能行成雙調和方程式。

雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數,但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中,雙調和方程為

可用分離變數法求解,其解為 Michell solution英语Michell solution