雙調和方程式

在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成

$\nabla ^{4}\varphi =0$${\displaystyle }$

或

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0$${\displaystyle }$

或

$\Delta ^{2}\varphi =0$${\displaystyle }$

 $\nabla ^{4}$ 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

$\nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi .$${\displaystyle }$

例如，在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做

${\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.$${\displaystyle }$

另外一個例子，在 n-维歐幾里得空間，

$\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}$${\displaystyle }$

其中

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$${\displaystyle }$

在 n=3 和 n=5  才能行成雙調和方程式。

雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0$

可用分離變數法求解，其解為 Michell solution 。