非线性偏微分方程列表

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非线性偏微分方程的在物理学、气动力学、流体力学、大气物理、海洋物理、爆炸物理、化学、生理学、生物学、生态学等领域都有重要的应用。非线性偏微分方程的研究,是当前微分方程研究的中心。求解非线性偏微分方程比求解线性偏微分方程,难度大的多,大多数非线性偏微分方程只能依靠数值解法。但多年来数学家们发现了一些行之有效的求解非线性偏微分方程的构造性解法,如反散射法、达布变换法,tanh、雅可比函数展开法等,得出非线性偏微分方程的解析解。解非线性偏微分方程,过程复杂,多数得力于MapleMathematicaMatlab等商用计算机代数系統

已知的非线性偏微分方程,数目不下3000余种,但有名的不过一百多种,多以发现者命名。

分离变数法[编辑]

反散射法[编辑]

达布变换[编辑]

混合指数法[编辑]

齐次平衡法[编辑]

Tanh 函数展开法[编辑]

Tanh 函数展开法是求解非线性偏微分方程行波解的重要方法。

设一个非线性偏微分方程可以用下列表述:

\psi(u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{xx},u_{tx})=0

作变数代换:

u(x,t)-> U(\xi)

\xi=k*(x-c*t)

得到:

\psi(U(\psi),-kc*\frac{\partial U}{\partial \psi},k*\frac{\partial U}{\partial \psi},
k^2*c^2*\frac{\partial^2 U}{\partial \psi^2},k^2*\frac{\partial^2 U}{\partial \psi^2},-k^3*c^3*\frac{\partial^3 U}{\partial \psi^3},k^3*\frac{\partial^3 U}{\partial \psi^3})=0

1992年数学家 Malfliet 首先应用 tanh 展开法[1]

对称分析[编辑]

Lax 可积系统[编辑]

Equation 中文 方程
BBM BBM 方程  :u_t+u_x+uu_x-u_{xxt}=0.\, BBM animation.gif
Belousov-Zhabotinsky 别洛乌索夫-扎伯廷斯基方程  u_{t}=d*u_{xx}+u*(1-r*u-u),

v_{t}=v_{xx}-s*u*v

Belousov-Zhabotinsky equation traveling wave plot 11.gif
(Benjamin-Ono equation 本杰明-小野方程 u_{tt}+\alpha*(u^2)_{xx}-\beta*u_{xxxx}=0 Benjamin-Ono equation traveling wave plot 8.gif
Bogoyavlenski-Konoplechenko 波格雅夫连斯基-科譳普勒琛科方程 u_{xt}+\alpha*u_{xxxx}+\beta*u_{xxxy}+6*\alpha*u_{xx}*u_{x}+4*\beta*u_{xy}*u_{x}+\beta*u_{xx}*u_{y}=0 Bogoyavlenski-Konoplechenko equation traveling wave plot 4.gif
Born-Infeld 玻恩-英费尔德方程 \displaystyle (1-u_t^2)u_{xx} +2u_xu_tu_{xt}-(1+u_x^2)u_{tt}=0 Born Infeld equation animation3.gif
Boussinesq 博欣内斯克方程 \frac{\partial^2 u }{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u }{\partial x^2 }-\frac{\partial^2 u^2 }{\partial^2 y^2 }+\frac{\partial^4 u }{\partial x^4}=0 Boussinesq pde Maple animation2.gif
Boussinesa type 博欣内斯克型方程  u_{tt}-u_{xx}-2*\alpha*(u*u_{x})_{x}-\beta*u_{xxtt}=0   Boussinesq type equation traveling wave plot 4.gif
Unnormalized Boussinesq 非规范博欣内斯克方程 u_{tt}-\alpha*(u*u_{x})_{x}-\beta*u_{xxxx}=0    Unnormalized Boussinesq equation traveling wave plot 3.gif
Broer-Kaup 布罗尔-库普方程组 u_{y,t}+(2*u*u_{x})_{x}+2*v_{xx}-u_{xxy}=0

v_{t}+2*(vu)_{x}+v_{xx}=0

Broer-Kaup equation traveling wave plot U3.gif
Burgers 伯格斯方程 \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}+u(x, t)*\frac{\partial (u(x, t)}{\partial x}-nu*\frac{\partial^2 (u(x, t)}{\partial  x^2} = 0  Burgers equation traveling wave plot 14.gif
Burgers-Fisher 伯格斯-费希尔 方程 : \frac{\partial u}{\partial t}+u^2*\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^2 u}{\partial u^2}=u*(1-u^2) Burgers Fisher equation tanh Adomian plot.gif
Modified Burgers 变形伯格斯方程 u_{t}+\frac{k}{t}*u+b*u*u_{x}=a*u_{xx}    Modified Burgers equation 3D plot 5.png
Unnormalized Burgers 非规范伯格斯方程 u_{t}-\alpha*u_{xx}-\beta*u*u_{x}=0  Unnormalized Burgers equation traveling wave plot 2.gif
Generalized Burgers 广义伯格斯方程
Burgers-Huxley 伯格斯-赫胥黎方程 u[t]-nu*u[x, x]+a*u*u[x] = b*u*(1-u)*(u-c) Burgers Huxley eq animation1.gif
Bretherton 布雷瑟顿方程 u_{tt}+u_{xx}+u_{xxxx}-\alpha*u^3=0 Bretherton equation traveling wave Jacobi function plot 6.gif
Cahn-Hilliard 卡恩-希利亚德方程 示例 示例
Cassama-Holm 卡马萨-霍尔姆方程 :
u_t + 2\kappa u_x - u_{xxt} + 3 u u_x = 2 u_x u_{xx} + u u_{xxx} Camassa Holm equation traveling wave sech plot5.gif
Chaffee-Infante 查菲 - 堙方特方程 u_{t}-u_{xx}+\lambda*(u^3-u)=0 Chaffee-Infante equation traveling wave plot 02.gif
Chaplygin 查普里金方程 0.5*u_{tt}+u_{x}*u_{xt}-u_{t}*u_{xx}=0 Chaplygin equation traveling wave plot 1.gif
Davey–Stewartson 戴维-斯图尔森方程组 :i u_t + c_0 u_{xx} + u_{yy} = c_1 |u|^2 u + c_2 u \phi_x,\,
\phi_{xx} + c_3 \phi_{yy} = ( |u|^2 )_x.\,
Davey-Stewardson equation traveling wave plot 4.gif
Degasperis-Procesi DP 方程 \displaystyle u_t - u_{xxt} + 2\kappa u_x + 4u u_x = 3 u_x u_{xx} + u u_{xxx} Degasperis-Procesi equation traveling wave plot 05.gif
Drinfeld-Solokov-Wilson DSW 方程 \frac{\partial u}{\partial t}+3*v*\frac{\partial v}{\partial x}=0

\frac{\partial v}{\partial t}-2*\frac{\partial^3 v}{\partial x^3}+\frac{\partial u}{\partial x}*v+2u*\frac{\partial v}{\partial x}

Drinfeld-Sokolov-Wilson Equation Homotopy method animation.gif
Dodd-Bullough-Mikhailov 多德-布洛-米哈伊洛夫方程 [[u_{xt}+\alpha*e^u+\gamma*e^{-2*u} = 0 Dodd-Bullough-Mikhailov equation traveling wave plot5.gif
Nonlinear Diffusion 非线性扩散方程  u_{t}=\alpha*u_{xx}-\beta*u^3-\gamma*u^2   Nonlinear Diffusion equation traveling wave plot 7.gif
Harry Dym 迪姆方程 :u_t = u^3u_{xxx}.\, Dym eq Backlund solution animation.gif
Eckhaus 艾克豪斯方程 u(x, y, t)_t+v(x, t)_x+1.0*u(x, y, t)*(u(x, y, t)_x) = 0

v(x, t)_{xt}+u(x, y, t)_{xx}*v(x, t)+2*u(x, y, t)_x*v(x, t)_x+u(x, y, t)*(v(x, t)_{xx}+
u(x, y, t)_{xx}+u(x, y, t)_{xxxx}+u(x, y, t)_{yy} = 0

Eckhaus dispersion equation traveling wave plotV2.gif
Eikonal 程函方程 sys := (u(x, t)_t))^2+(u(x, t)_x)^2-4 = 0 Eikonal equation traveling wave plot 1.gif
Estevez-Mansfield-Clarkson 埃斯特韦斯-曼斯菲尔德-克拉克森方程  u_{tyyy}+\beta*u_{y}*u_{yt}+\beta*u_{yy}*u_{t}+u_{tt}=0 Estevez-Mansfield-Clarkson equation traveling wave plot 5.gif
Fitzhugh-Nagumo 菲茨休 - 南云方程 \frac{\partial u}{\partial t}=D*\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x^2}-u*(1-u)*(a-u) 1-Fitzhugh Nagumo plot 5.jpg
Fisher 费希尔方程  u_{t}=u_{xx}+a*u*(1-u)   Fisher equation traveling wave plot 10.gif
Fisher-Kolmogorov 费希尔-柯尔莫哥洛夫方程 :: \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\alpha}{k}*u(1-u^q)+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\, Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot11.gif
Fujita-Storm 藤田-斯托姆方程  u_{t}=a*(u^{-2}*u_{x})_{x}   Fujita-Storm equation plot 9.gif
Gardner 加德纳方程 \frac{\partial u}{\partial  t}+(2*a*u-3*b*u^2)*\frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial^3 u}{\partial  x^3}=0 Gardner equation traveling wave plot4.gif
Gibbons-Tsarev 吉本斯-查理夫方程 u_{t}*u_{xt}-u_{x}*u_{tt}+u_{xx}+1=0 Gibsons-Tsarev equation traveling wave plot 3.gif
Ginzburg-Landau 金兹堡-朗道方程 \frac{\partial u}{\partial t}-a*u*\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-b*u+c*|u|^2*u=0 Ginzburg Landau equation animation1.gif
Hirota Satsuma 广田-萨摩方程组 :u_{t}-0.5*u_{xxx}+3uu_{x}-3(vw)_{x}=0
v_{t}+v_{xxx}-3uv_{x}=0
w_{t}+w_{xxx}-3uw_{x}=0
Hirota Satsuma equations traveling wave plot 2.gif
Hunt-Saxton 亨特 - 萨克斯顿方程 :
(u_t + u u_x)_x = \frac{1}{2} \, u_x^2
Hunter Saxton eq traveling wave plot 17.gif
Ito 伊藤方程  U_{t}+((6*U^5+10*\alpha*(U^2*U_{xx}+U*U_{x}^2)+U_{xxxx})_{x}=0 Ito equation traveling wave plot 2.gif
KdV KdV方程 :\partial_t\phi+6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0 KdV equation traveling wave plot 8.gif
Modified KdV MKdV方程 u_{t}+\alpha*u^2*u_{x}+u_{xxx}=0 MKdV equation traveling wave plot 3.gif
KdV-mKdV KdV-mKdV方程 u_{t}+6*\alpha*u*u_{x}+6*\beta*u^2*u_{}+\gamma*U_{xxx}=0 Kdv-mKdv equation traveling wave plot 5.gif
KdV-Burgers KdV-Burgers方程 u_{t}+u*u_{x}-\alpha*u_{xx}-\beta*u_{xxx}=0 KdV-Burgers equation traveling wave plot 6.gif
Modified KdV-Burgers 变形KdV-Burgers方程 u_{t}+u_{xxx}-\alpha*u^2*u_{x}-\beta*u_{xx}=0 Modified KdV-Burgers equation traveling wave plot 7.gif
Fifth order KdV 五阶KdV方程 u_{t}+\alpha*u^2*u_{x}+\beta*u_{x}*u_{xx}+\gamma*u*u_{xxx}+\delta*u_{xxxxx}=0 General Fifth order KdV equation traveling wave plot 16.gif
Fifth order dispersion KdV 五阶色散KdV方程  u_{t}+\alpha*u*u_{x}+\beta*u_{xxx}+u_{xxxxx}=0   Fifth order dispersion KdV equation traveling wave plot 2.gif
Seventh order KdV 七阶KdV方程 U[t]+6*U*U[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha*U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0 Seventh order KdV equation traveling wave plot 2.gif
Nineth order KdV 九阶KdV方程 U[t]+6*U*U[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha*U[x,x,x,x,x,x,x]+\beta*U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0 Nineth order KdV equation traveling wave plot 1.gif
Unnormalized KdV equation 非规范KdV方程 u_{t}+\alpha*u_{xxx}+\beta*u*u_{x}=0 Unnormalized KdV equation traveling wave plot 6.gif
Generalized Burgers-KdV 广义伯格斯-KdV方程 U[t]-\alpha*\frac{\partial^n u(x,t)}{\partial x^n}-\beta*u(x,t)*\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=0    Generalized 7th order Burgers-KdV equation plot 16.gif
Unnormalized modified KdV 非规范变形KdV方程 u_{t}+u_{xxx}+\alpha*u^2*u_{x}=0    Unnormalized modifed KdV equation traveling wave plot 15.gif
von Karman 冯·卡门方程 \Delta\Delta(u)=a((w_{xy})^2-w_{xx}w_{yy})

\Delta\Delta(w)=b(u_{yy}w_{xx}+u_{xx}w_{yy}-2u_{xy}w_{xy})+c

Von Karman equation U Maple plot.png
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参考文献[编辑]

  1. ^ W. Malfliet, Solitary Wave Solution of Nonlinear wave equation, Am J.of Physics 60(7) 1992,650-654
  1. *谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》 上海科学技术出版社
  2. *阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
  3. 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
  4. 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
  5. *何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
  6. Andrei D. Polyanin,Valentin F. Zaitsev, HANDBOOK OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, SECOND EDITION CRC PRESS
  7. Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
  8. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
  9. Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
  10. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
  11. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
  12. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
  13. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
  14. T.Roubicek: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, 2nd ed., Birkhäuser, Basel, 2013, ISBN 978-3-0348-0512-4.
  15. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

外部链接[编辑]