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高斯光束

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高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖
场强(蓝色)和辐照度(黑色)在坐标轴上的分布情况

光学中,高斯光束英语:Gaussian beam)是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件,在这种情况里,激光在光谐振腔里以TEM00波模(横向基模)传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折时,高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束,因此,高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解(属于小角近似英语Small-angle approximation的一种)。这个解具有高斯函数的形式,代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场磁场两部分,研究其中任一个场,就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中,场的行为可以通过几个参数加以刻画,如光斑大小,曲率半径,古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解,在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解,最低阶都是高斯光束,高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式[编辑]

高斯光束作为电磁波的横向电磁模,通过求解近轴亥姆霍兹公式,可得电场的振幅

纳米激光器产生的激光

这里

为径向坐标,以光轴中心为参考点
为轴向坐标,以光轴上光波最狭窄(束腰)位置为参考点
虚数单位(即
波数(以“弧度/米”为单位)
为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径
为激光的束腰宽度
为光波波前的曲率半径
为轴对称光波的 Gouy 相移,对高斯光束的相位也有影响

此外,上式中默认忽略了含时项

对应的辐照度时域平均值为

这里 为光波束腰中心处的辐照度。常数 为光波所在传播介质中的波阻抗英语Wave impedance。在真空中,

波束参数[编辑]

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定,下面将分别予以介绍。

束宽[编辑]

对于在自由空间传播的高斯光束,其腰斑英语spot size位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 ,这个最小值被称为束腰。波长 的光波的腰斑位置在 轴上的分布为

这里将 定义为束腰的位置。

被称为瑞利距离

瑞利距离和共焦参数[编辑]

与束腰轴向距离等于瑞利距离 处的束宽为

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深英语depth of focus

曲率半径[编辑]

是光束波前的曲率半径,它是轴向距离的函数

光束偏移[编辑]

,参数 呈线性关系,趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”,它等于

在远离束腰的位置,光束弯散的总角度为

由于这一性质,聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直,激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应,但是高斯光束是一种特殊情况,其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似,当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后,这种模型将不再适用[1]。通过上述偏移的表达式,这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积英语beam parameter product(BBP)来衡量。对于高斯光束,BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下,实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1,而所有的是激光束的 M2 值均大于1,并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。

Gouy 相位[编辑]

光束的轴向上的相位延迟,或称 Gouy 相位为

当光束通过焦点时,除了正常情况下平面波的相移 外,多出一个额外的 Gouy 相移

复数形式的光束参数[编辑]

可以通过复数形式的光束参数 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息,

倒数 显式提供了 间的关系:

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位,特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 ,具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

在二维的情况里,可以将散光的光束表达为乘积的形式

对于圆对称的普遍情况,,可以得出[2]

功率和辐照度[编辑]

流经孔隙的功率[编辑]

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率

这里

为电磁波传播的总能量

流经以 为半径的圆的能量占总能量的比值为

类似的,占光波总能量约90%的部分将流经半径为 的圆形面积,总能量的95%通过 的圆形面积,总能量的99%会通过 的圆。

辐照度的峰值和平均值[编辑]

在与束腰的轴向距离为 的位置,利用洛必达法则,可以计算该位置的辐射照度峰值

可以看出,辐照度峰值为平均值的两倍,后者等于总能量除以半径为 的圆的面积。

相關條目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Siegman (1986) p. 630.
  2. ^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
  • Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
  • Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.