高斯光束的瞬時輻照度電腦繪圖 場強（藍色）和輻照度（黑色）在坐標軸上的分布情況 在光學 中，高斯光束 （英語：Gaussian beam 電場 以及輻照度 分布近似滿足高斯函數 的電磁波 光束。許多雷射 都近似滿足高斯光束的條件，在這種情況中，雷射在光諧振腔 中以TEM00 波模（橫向基模）傳播。當它在滿足近繞射極限的鏡片中發生折射 時，高斯光束會變換成另一種不同參數的高斯光束，因此，高斯光束是雷射光學中一種方便、廣泛應用的模型。
描述高斯光束的數學函數是亥姆霍茲方程式 的一個近軸近似 解（屬於小角近似 的一種）。這個解具有高斯函數 的形式，代表了光束中電場分量的復振幅。儘管電磁波的傳播包括電場 和磁場 兩部分，研究其中任一個場，就足以描述波在傳播時的性質。
高斯光束中，場的行為可以通過幾個參數加以刻畫，如光斑大小，曲率半徑，古依相移等。
亥姆霍茲方程式的近軸近似解可能不止一個。笛卡爾坐標系下求解可得一類稱為厄米-高斯模的解，在柱坐標中求解則得到一類稱為拉蓋爾-高斯模的解。對這兩類解，最低階都是高斯光束，高階解則描述了光學諧振腔中的高階橫向模。
數學形式 [ 編輯 ] 高斯光束作為電磁波的橫向電磁模，通過求解近軸亥姆霍茲公式，可得電場的振幅
E
(
r
,
z
)
=
E
0
w
0
w
(
z
)
exp
(
−
r
2
w
2
(
z
)
)
exp
(
−
i
k
z
−
i
k
r
2
2
R
(
z
)
+
i
ζ
(
z
)
)
,
{\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,}
奈米雷射器產生的雷射 這裡
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
i
{\displaystyle i}
虛數單位 （即
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }}
波數 （以「弧度 /米」為單位）
E
0
=
|
E
(
0
,
0
)
|
{\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
e 、強度降到軸向的1/e 2 的點的半徑
w
0
=
w
(
0
)
{\displaystyle w_{0}=w(0)}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
波前 的曲率半徑
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
此外，上式中默認忽略了含時項
e
i
ω
t
{\textstyle e^{i\omega t}}
對應的輻照度時域平均值為
I
(
r
,
z
)
=
|
E
(
r
,
z
)
|
2
2
η
=
I
0
(
w
0
w
(
z
)
)
2
exp
(
−
2
r
2
w
2
(
z
)
)
,
{\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,}
這裡
I
0
=
I
(
0
,
0
)
{\displaystyle I_{0}=I(0,0)}
η
{\displaystyle \eta \,}
波阻抗
η
=
η
0
=
μ
0
ε
0
=
1
/
(
ε
0
c
)
≈
376.7
Ω
{\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } }
波束參數 [ 編輯 ] 高斯光束的許多性質由一系列波束參數決定，下面將分別予以介紹。
對於在自由空間傳播的高斯光束，其腰斑
w
0
{\displaystyle w_{0}}
波長 為
λ
{\displaystyle \lambda }
z
{\displaystyle z}
w
(
z
)
=
w
0
1
+
(
z
z
R
)
2
.
{\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .}
這裡將
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
R
=
π
w
0
2
λ
{\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
被稱為瑞立距離 。
瑞立距離和共焦參數 [ 編輯 ] 與束腰軸向距離等於瑞立距離
z
R
{\displaystyle z_{R}}
w
(
±
z
R
)
=
w
0
2
.
{\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,}
這兩點之間的距離稱作共焦參數 或光束的焦深 。
b
=
2
z
R
=
2
π
w
0
2
λ
.
{\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}
曲率半徑 [ 編輯 ]
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
R
(
z
)
=
z
[
1
+
(
z
R
z
)
2
]
.
{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}
光束偏移 [ 編輯 ] 當
z
≫
z
R
{\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
z
{\displaystyle z}
θ
≃
λ
π
w
0
(
θ
i
n
r
a
d
i
a
n
s
)
.
{\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).}
在遠離束腰的位置，光束彎散的總角度為
Θ
=
2
θ
.
{\displaystyle \Theta =2\theta \ .}
由於這一性質，聚焦於一個小點的高斯雷射在遠離這個點的傳播過程中迅速散開。為了保持雷射的準直，雷射束必須具有較大的直徑。束寬和光束偏移的這一關係是由於繞射 的緣故。非高斯光束同樣會表現這一效應，但是高斯光束是一種特殊情況，其束寬和偏移的乘積是可能達到的最小值。
由於高斯光束模型使用了近軸近似，當波前與光傳播方向傾斜程度大於30度之後，這種模型將不再適用[1]
2
λ
/
π
{\displaystyle 2\lambda /\pi }
雷射束的質量可以用束參數乘積
w
0
{\displaystyle w_{0}}
2 」。高斯光束的 M2 值為1，而所有的是雷射束的 M2 值均大於1，並且質量越好的雷射的 M2 值越接近1。
Gouy 相位 [ 編輯 ] 光束的軸向上的相位延遲，或稱 Gouy 相位為
ζ
(
z
)
=
arctan
(
z
z
R
)
.
{\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .}
當光束通過焦點時，除了正常情況下平面波的相移
e
−
i
k
z
{\displaystyle e^{-ikz}}
π
{\displaystyle \pi }
複數形式的光束參數 [ 編輯 ] 可以通過複數形式的光束參數
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
q
(
z
)
=
z
+
q
0
=
z
+
i
z
R
.
{\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .}
倒數
1
/
q
(
z
)
{\displaystyle 1/q(z)}
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
1
q
(
z
)
=
1
z
+
i
z
R
=
z
z
2
+
z
R
2
−
i
z
R
z
2
+
z
R
2
=
1
R
(
z
)
−
i
λ
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.}
光束參數的複數形式在高斯光束傳播的分析中有著重要地位，特別是當使用光線傳遞矩陣分析光諧振腔中光束傳播。
利用複數光束參數
q
{\displaystyle q}
u
(
x
,
z
)
=
1
q
x
(
z
)
exp
(
−
i
k
x
2
2
q
x
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).}
在二維的情況中，可以將散光的光束表達為乘積的形式
u
(
x
,
y
,
z
)
=
u
(
x
,
z
)
u
(
y
,
z
)
,
{\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),}
對於圓對稱 的普遍情況，
q
x
=
q
y
=
q
{\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}}
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
[2]
u
(
r
,
z
)
=
1
q
(
z
)
exp
(
−
i
k
r
2
2
q
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).}
功率和輻照度 [ 編輯 ] 流經孔隙的功率 [ 編輯 ] 流經距離 z 軸半徑為r 的圓的功率 為
P
(
r
,
z
)
=
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
,
{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}
這裡
P
0
=
1
2
π
I
0
w
0
2
{\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}
流經以
r
=
w
(
z
)
{\displaystyle r=w(z)\,}
P
(
z
)
P
0
=
1
−
e
−
2
≈
0.865
.
{\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .}
類似的，占光波總能量約90%的部分將流經半徑為
r
=
1.07
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,}
r
=
1.224
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,}
r
=
1.52
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.52\cdot w(z)}
輻照度的峰值和平均值 [ 編輯 ] 在與束腰的軸向距離為
z
{\displaystyle z}
洛必達法則 ，可以計算該位置的輻射照度峰值
I
(
0
,
z
)
=
lim
r
→
0
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
π
r
2
=
P
0
π
lim
r
→
0
[
−
(
−
2
)
(
2
r
)
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
w
2
(
z
)
(
2
r
)
=
2
P
0
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}
可以看出，輻照度峰值為平均值的兩倍，後者等於總能量除以半徑為
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
相關條目 [ 編輯 ] 參考文獻 [ 編輯 ]
^ Siegman (1986) p. 630.
^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5 Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2 Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3 F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021
![{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f310e9d1c7e6576652538b112939fccea751c633)
![{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0db91d35dd1a1a87ac320b949f2ebc8281f3732)
![{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e0df72b94b3d79a4d65bc0e0f2de49022e577b)
