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高斯光束

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高斯光束的瞬時輻照度電腦繪圖
場強(藍色)和輻照度(黑色)在坐標軸上的分佈情況

光學中,高斯光束(英語:Gaussian beam)是橫向電場以及輻照度分佈近似滿足高斯函數電磁波光束。許多激光都近似滿足高斯光束的條件,在這種情況中,激光在光諧振腔中以TEM00波模(橫向基模)傳播。當它在滿足近繞射極限的鏡片中發生折時,高斯光束會變換成另一種不同參數的高斯光束,因此,高斯光束是激光光學中一種方便、廣泛應用的模型。

描述高斯光束的數學函數是亥姆霍茲方程式的一個近軸近似解(屬於小角近似的一種)。這個解具有高斯函數的形式,代表了光束中電場分量的復振幅。儘管電磁波的傳播包括電場磁場兩部分,研究其中任一個場,就足以描述波在傳播時的性質。

高斯光束中,場的行為可以通過幾個參數加以刻畫,如光斑大小,曲率半徑,古依相移等。

亥姆霍茲方程式的近軸近似解可能不止一個。笛卡爾坐標系下求解可得一類稱為厄米-高斯模的解,在柱坐標中求解則得到一類稱為拉蓋爾-高斯模的解。對這兩類解,最低階都是高斯光束,高階解則描述了光學諧振腔中的高階橫向模。

數學形式

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高斯光束作為電磁波的橫向電磁模,通過求解近軸亥姆霍茲公式,可得電場的振幅

納米激光器產生的激光

這裏

為徑向坐標,以光軸中心為參考點
為軸向坐標,以光軸上光波最狹窄(束腰)位置為參考點
虛數單位(即
波數(以「弧度/米」為單位)
為當電磁場振幅降到軸向的1/e、強度降到軸向的1/e2的點的半徑
為激光的束腰寬度
為光波波前的曲率半徑
為軸對稱光波的 Gouy 相移,對高斯光束的相位也有影響

此外,上式中默認忽略了含時項

對應的輻照度時域平均值為

這裏 為光波束腰中心處的輻照度。常數 為光波所在傳播介質中的波阻抗英語Wave impedance。在真空中,

波束參數

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高斯光束的許多性質由一系列波束參數決定,下面將分別予以介紹。

束腰

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對於在自由空間傳播的高斯光束,其腰斑英語spot size位置的半徑在光軸方向總大於一個最小值 ,這個最小值被稱為束腰(beam waist)。波長 的光波的腰斑位置在 軸上的分佈為

這裏將 定義為束腰的位置。

被稱為瑞立距離

瑞立距離和共焦參數

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與束腰軸向距離等於瑞立距離 處的束寬為

這兩點之間的距離稱作共焦參數或光束的焦深

曲率半徑

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是光束波前的曲率半徑,它是軸向距離的函數

光束偏移

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,參數 呈線性關係,趨近於一條直線。這條直線與中央光軸的夾角被稱為光束的「偏移」,它等於

在遠離束腰的位置,光束彎散的總角度為

由於這一性質,聚焦於一個小點的高斯激光在遠離這個點的傳播過程中迅速散開。為了保持激光的準直,激光束必須具有較大的直徑。束寬和光束偏移的這一關係是由於繞射的緣故。非高斯光束同樣會表現這一效應,但是高斯光束是一種特殊情況,其束寬和偏移的乘積是可能達到的最小值。

由於高斯光束模型使用了近軸近似,當波前與光傳播方向傾斜程度大於30度之後,這種模型將不再適用[1]。通過上述偏移的表達式,這意味着高斯光束模型僅對束腰大於 的光束適用。

激光束的質量可以用束參數乘積英語beam parameter product(BBP)來衡量。對於高斯光束,BBP 的數值就是光束的偏移量與束腰 的乘積。實際光束的 BPP 通過計算光束的最小直徑和遠場偏移量的乘積來獲得。在波長一定的情況下,實際光束的 BPP 數值與理想激光束的 BPP 數值的比值被稱為「M2」。高斯光束的 M2 值為1,而所有的是激光束的 M2 值均大於1,並且質量越好的激光的 M2 值越接近1。

Gouy 相位

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光束的軸向上的相位延遲,或稱 Gouy 相位為

當光束通過焦點時,除了正常情況下平面波的相移 外,多出一個額外的 Gouy 相移

複數形式的光束參數

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可以通過複數形式的光束參數 囊括光斑尺寸與曲率半徑的資訊,

倒數 顯式提供了 間的關係:

光束參數的複數形式在高斯光束傳播的分析中有着重要地位,特別是當使用光線傳遞矩陣分析光諧振腔中光束傳播。

利用複數光束參數 ,具有一個橫向維度的高斯光束電磁場與下式成比例

在二維的情況中,可以將散光的光束表達為乘積的形式

對於圓對稱的普遍情況,,可以得出[2]

功率和輻照度

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流經孔隙的功率

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流經距離 z 軸半徑為r的圓的功率

這裏

為電磁波傳播的總能量

流經以 為半徑的圓的能量佔總能量的比值為

類似的,佔光波總能量約90%的部分將流經半徑為 的圓形面積,總能量的95%通過 的圓形面積,總能量的99%會通過 的圓。

輻照度的峰值和平均值

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在與束腰的軸向距離為 的位置,利用洛必達法則,可以計算該位置的輻射照度峰值

可以看出,輻照度峰值為平均值的兩倍,後者等於總能量除以半徑為 的圓的面積。

相關條目

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參考文獻

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  1. ^ Siegman (1986) p. 630.
  2. ^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
  • Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
  • F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021可免費查閱 |class=被忽略 (幫助).