馬克斯·普朗克
普朗克單位制 是一種計量單位 制度,由德國物理學家馬克斯·普朗克 最先提出,因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制 的一個實例,經過特別設計,使得某些基礎物理常數的值能夠簡化為1,這些基礎物理常數是
萬有引力常數
G
{\displaystyle G\,\!}
,
約化普朗克常數
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
,
在真空裏的光 的光速
c
{\displaystyle c\,\!}
,
庫侖常數
k
e
=
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}
,其中
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是真空電容率 ,也就是電常數 ,
波茲曼常數
k
B
{\displaystyle k_{B}\,\!}
。
上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論:
G
{\displaystyle G\,\!}
在廣義相對論 與牛頓 的萬有引力定律 、
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
在量子力學 、
c
{\displaystyle c\,\!}
在狹義相對論 、
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
在靜電學 、
k
B
{\displaystyle k_{B}\,\!}
在統計力學 與熱力學 。实际上,以上的五个常数在許多物理定律的代數表達式中多次出现,因此引入普朗克單位制可以将這些代數表達式简化,普朗克單位制也因此成为了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究,特別如量子重力學 中,普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。
基本普朗克單位
每一個單位制都有一組基本單位。(在國際單位制 裏,長度的基本單位是公尺)在普朗克單位制裏,長度的基本單位是普朗克長度 ,時間的基本單位是普朗克時間 ,等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。
表1:基礎物理常數
常數
符號
因次
國際單位等值與不確定度[1]
真空光速
c
{\displaystyle c\,\!}
L
T
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {T} }}\,\!}
299 792 458m s−1
萬有引力常數
G
{\displaystyle G\,\!}
L
3
M
T
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{3}}{\mathrm {M} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}
6.674 08(31)×10−11 m3 kg −1 s−2
約化普朗克常數
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
L
2
M
T
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} }}\,\!}
1.054 571 800(13)×10−34 J s
庫侖常數
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}
L
3
M
T
2
Q
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{3}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}\mathrm {Q} ^{2}}}\,\!}
8 987 551 787.368 1764 N m2 C −2
波茲曼常數
k
B
{\displaystyle k_{B}\,\!}
L
2
M
T
2
Θ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}\Theta }}\,\!}
1.380 648 52(79)×10−23 J K −1
字鍵:
L
{\displaystyle \mathrm {L} \,\!}
= 長度 ,
T
{\displaystyle \mathrm {T} \,\!}
= 時間 ,
M
{\displaystyle \mathrm {M} \,\!}
= 質量 ,
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} \,\!}
= 電荷 ,
Θ
{\displaystyle \Theta \,\!}
= 溫度 。因為定義的關係,光速與庫侖常數的數值是精確值,不存在误差。
表2:基本普朗克單位
單位名稱
因次
表達式
國際單位等值與不確定度[1]
普朗克長度
L
{\displaystyle \mathrm {L} \,\!}
l
P
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\,\!}
1.616 229(38)×10−35 m
普朗克質量
M
{\displaystyle \mathrm {M} \,\!}
m
P
=
ℏ
c
G
{\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}\,\!}
2.176 470(51)×10−8 kg
普朗克時間
T
{\displaystyle \mathrm {T} \,\!}
t
P
=
l
P
c
=
ℏ
G
c
5
{\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\,\!}
5.391 16(13)×10−44 s
普朗克電荷
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} \,\!}
q
P
=
ℏ
c
4
π
ϵ
0
{\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}
1.875 545 956(41)×10−18 C
普朗克溫度
Θ
{\displaystyle \Theta \,\!}
T
P
=
m
P
c
2
k
=
ℏ
c
5
G
k
2
{\displaystyle T_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}\,\!}
1.416 808(33)×1032 K
使用普朗克單位後,表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1,因此表2的普朗克長度,普朗克質量,普朗克時間,普朗克電荷,與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為
因為
G
=
c
=
ℏ
=
1
4
π
ϵ
0
=
k
B
=
1
{\displaystyle G=c=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!}
,所以
l
P
=
m
P
=
t
P
=
q
P
=
T
P
=
1
{\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!}
。
衍生普朗克單位
在任何單位系統裏,許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上,大多數普朗克單位不是太大,就是太小,並不適合於實驗或任何實際用途。
表3:衍生普朗克單位
單位名
因次
表達式
國際單位等值[1]
普朗克面積
L
2
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\,\!}
l
P
2
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}\,\!}
2.61223×10-70 m2
普朗克動量
L
M
T
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} \mathrm {M} }{\mathrm {T} }}\,\!}
m
P
c
=
ℏ
l
P
=
ℏ
c
3
G
{\displaystyle m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}\,\!}
6.52485kg m/s
普朗克能量
L
2
M
T
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}}}\,\!}
E
P
=
m
P
c
2
=
ℏ
t
P
=
ℏ
c
5
G
{\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}\,\!}
1.9561×109 J
普朗克力
L
M
T
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} \mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}}}\,\!}
F
P
=
E
P
l
P
=
ℏ
l
P
t
P
=
c
4
G
{\displaystyle F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}\,\!}
1.21027×1044 N
普朗克功率
L
2
M
T
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{3}}}\,\!}
P
P
=
E
P
t
P
=
ℏ
t
P
2
=
c
5
G
{\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}\,\!}
3.62831×1052 W
普朗克密度
M
L
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}}\,\!}
ρ
P
=
m
P
l
P
3
=
ℏ
t
P
l
P
5
=
c
5
ℏ
G
2
{\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\,\!}
5.15500×1096 kg/m3
普朗克角頻率
1
T
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}\,\!}
ω
P
=
1
t
P
=
c
5
ℏ
G
{\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\,\!}
1.85487×1043 s−1
普朗克壓力
M
L
T
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}
p
P
=
F
P
l
P
2
=
ℏ
l
P
3
t
P
=
c
7
ℏ
G
2
{\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\,\!}
4.63309×10113 Pa
普朗克電流
Q
T
{\displaystyle {\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {T} }}\,\!}
I
P
=
q
P
t
P
=
c
6
4
π
ϵ
0
G
{\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}\,\!}
3.4789×1025 A
普朗克電壓
L
2
M
Q
T
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {Q} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}
V
P
=
E
P
q
P
=
ℏ
t
P
q
P
=
c
4
G
4
π
ϵ
0
{\displaystyle V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}\,\!}
1.04295×1027 V
普朗克阻抗
L
2
M
Q
2
T
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {Q} ^{2}\mathrm {T} }}\,\!}
Z
P
=
V
P
I
P
=
ℏ
q
P
2
=
1
4
π
ϵ
0
c
=
Z
0
4
π
{\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\,\!}
29.9792458 Ω
簡化物理方程式
嚴格地說,不同因次的物理量,雖然它們的數值可能相等,仍舊不能用在相等式的兩邊。但是,在理論物理學裏,為了簡化運算,我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化 。表4展示出普朗克單位怎樣通过無因次化使許多物理方程式變得更簡單。
表4:物理方程式與其無因次形式
通常形式
無因次 的形式
萬有引力定律
F
=
−
G
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}
F
=
−
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}
薛丁格方程式
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}
−
1
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}
=
i
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}
普朗克關係式
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle {E=\hbar \omega }\ \,\!}
E
=
ω
{\displaystyle {E=\omega }\ \,\!}
狹義相對論 的質能方程式
E
=
m
c
2
{\displaystyle {E=mc^{2}}\ \,\!}
E
=
m
{\displaystyle {E=m}\ \,\!}
廣義相對論 的愛因斯坦場方程式
G
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!}
G
μ
ν
=
8
π
T
μ
ν
{\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!}
一個粒子的每個自由度 的熱能
E
=
1
2
k
B
T
{\displaystyle {E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!}
E
=
1
2
T
{\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!}
庫侖定律
F
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}
F
=
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}
麦克斯韦方程組
∇
⋅
E
=
1
ϵ
0
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
∇
⋅
E
=
4
π
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}
∇
×
B
=
4
π
J
+
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
參閱
參考文獻
Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218 . 這是本簡單易解的書.
Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants , ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11 ] , 這篇文章評論基礎物理常數可能隨時間而改變
Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants , Journal of High Energy Physics, 2002, 3 : 023 [2008-09-11 ] , doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023 , 關於到底有幾個最基礎的物理常數的對話
Planck, Max , Über irreversible Strahlungsvorgänge , Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5 : 440–480 [2008-09-11 ] , 除了普朗克電荷與普朗克常數以外,普朗克單位最先出現於這篇文章裡面。
Penrose, Roger . The Road to Reality. New York: Alfred A. Knopf. 2005: Section 31.1. ISBN 0679454438 .
外部連結