相對化拓撲

在拓撲學和數學的其他相關領域裡，拓撲空間 X 的子空間是指在 X 中子集 S 及在 S 上賦予的由 X 的拓撲所誘導的拓撲．這個誘導出來的拓撲叫做 X 的拓撲在 S 上的相對化拓撲，也叫子空間拓撲、“自然拓撲”．誘導方式參見#定義．

定義

給定一拓撲空間 (X,τ) 和一 X 內的子集 S ，於 S 上的子空間拓撲被定義爲

\tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .

亦即， S 的子集於子空間拓撲中為開集若且唯若其爲 S 和一於 (X,τ) 內的開集的交集。若 S 被設上子空間拓撲，則其本身即為一拓撲空間，並被稱之爲 (X,τ) 的子空間。除非有額外敘述，一般拓撲空間的子集都會假定設有一子空間拓撲。

若 S 爲 (X,τ) 內的開集、閉集或稠密集，則分別稱 (S,τ_S) 爲 (X,τ) 內的一開子空間、閉子空間或稠密子空間。

另外，也可以定義 X 內的子集 S 的子空間拓撲為會使得內含映射

\iota :S\hookrightarrow X

為連續的最弱拓撲。

更一般地，設 i 爲一由集合 S 至拓撲空間 X 的單射，則於 S 上的子空間拓撲即為定義爲 i 爲連續的最弱拓撲。此拓撲的開集恰好會是 i^-1(U) 的其中一個，其中的 U 爲 X 內的開集。 S 因此同胚於在 X 內的值域（也是帶子空間拓撲），且 i 會被稱之為拓撲嵌入。

例子

給定一具一般拓撲的實數，其自然數（實數的一子空間）的子空間拓撲會是一個離散拓撲。
有理數 Q 做為一個 R 的子空間，不帶有離散拓撲（點 0 在 Q 內不是開集）。
令 S = [0,1) 為實線 R 的一子空間，則 [0,½) 在 S 內為開集，但在 R 內則不是。相似地，[½, 1) 在 S 內為閉集，但在 R 內則不是。 S 為其自身的開子集和閉子集，但做為 R 的子集則兩者皆不是。

參考文獻

Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
Steen, Lynn A. and Seeback, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970) ISBN 0-03-079485-4.
Wilard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

另見