堆積

关于地理學的堆積，请见「堆積作用」。

堆（英語：Heap）是计算机科学中的一種特別的完全二叉树。若是滿足以下特性，即可稱為堆積：「給定堆積中任意節點P和C，若P是C的母節點，那麼P的值會小於等於（或大於等於）C的值」。若母節點的值恆小於等於子節點的值，此堆積稱為最小堆積（min heap）；反之，若母節點的值恆大於等於子節點的值，此堆積稱為最大堆積（max heap）。在堆積中最頂端的那一個節點，稱作根節點（root node），根節點本身沒有母節點（parent node）。

堆積始於J. W. J. Williams在1964年發表的堆積排序（heap sort），當時他提出了二元堆積樹作為此演算法的資料結構。堆積在戴克斯特拉演算法（英語：Dijkstra's algorithm）中亦為重要的關鍵。

在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。

性质

堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。

• 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
• 堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。

支持的基本操作

操作	描述	时间复杂度
build	建立一个空堆	$O(n)$
insert	向堆中插入一个新元素	$O(\log n)$
update	将新元素提升使其符合堆的性质
get	获取当前堆顶元素的值	$O(1)$
delete	删除堆顶元素	$O(\log n)$
heapify	使删除堆顶元素的堆再次成为堆

某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

例程

为将元素X插入堆中，找到空闲位置，建立一个空穴，若满足堆序性（英文：heap order），则插入完成；否则将父节点元素装入空穴，删除该父节点元素，完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做上滤（percolate up）。

void Insert( ElementType X, PriorityQueue H ) {
    int i;
    if (IsFull(H)) {
        printf("Queue is full.\n");
        return;
    }
    for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2)
        H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
    H->Elements[i] = X;
}

以上是插入到一个二叉堆的过程。

DeleteMin，删除最小元，即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后，队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置，使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作下滤。

ElementType DeleteMin(PriorityQueue H) {
    int i, Child;
    ElementType MinElement, LastElement;
    if (IsEmpty(H)) {
        printf("Queue is empty.\n");
        return H->Elements[0];
    }
    MinElement = H->Elements[1];
    LastElement = H->Elements[H->Size--];
    for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child) {
        // Find smaller child.
        Child = i * 2;
        if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1]
                <  H->Elements[Child])
            Child++;
        // Percolate one level.
        if (LastElement > H->Elements[Child])
            H->Elements[i] = H->Elements[Child];
        else
            break;
    }
    H->Elements[i] = LastElement;
    return MinElement;
}

应用

堆排序

主条目：堆排序

堆（通常是二叉堆）常用于排序。这种算法称作堆排序。

事件模拟

主要运用堆的排序以选择优先。

参见

• 二叉堆
• 二项式堆
• 最大-最小堆
• 斐波纳契堆
• 数据结构