此條目介紹的是数学概念。关于物理方程的“微分形式”与“积分形式”,请见「
微分方程」。关于and,请见「
积分方程」。
微分形式是多变量微积分,微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式,及其以楔积(wedge product)和外微分结构形成外代数的想法,都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。
例如,一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子,并且可以在f定义域内的一个区间[a, b]上进行积分:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249ee3fdbced31dfc328ff357f67bb134ca66b8d)
类似地,表达式f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz是2-形式的一种,它在可定向曲面S上有曲面积分:
![{\displaystyle \int _{S}f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b48d770bf47220af4892f2a3a12646bc5a68ad)
符号∧表示两个微分形式的外积,有时候也称为楔积。类似地,3-形式f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地,k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象,并且其坐标微分是k次齐次的。
简介
我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f.
当我们在Rn的m-维子空间S上对函数f积分时,我们将积分写作:
![{\displaystyle \int _{S}f\,dx_{1}\ldots dx_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e96ad194ab8dc9cf2499335f0e18bec1020af1)
把dx1, ..., dxn当作形式化的对象,而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本1-形式。
我们再在其上定义一种乘法规则楔积,这种乘法只需满足反交换的条件:
对所有i,j
![{\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a823338715a2f8af08db3701ad20e957bced33cb)
注意这意味着
.
我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式,类似的我们定义乘积
![{\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3eacb0d305329c7f37887f348babb655acea161)
的集合为基本'3-形式,这里假定n至少为3。现在定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式,定义k-形式为一些单项式k-形式的和。
楔积可以推广到这些和上:
![{\displaystyle f\cdot p\,dx_{I}\wedge dx_{K}+f\cdot q\,dx_{I}\wedge dx_{L}+g\cdot p\,dx_{J}\wedge dx_{K}+g\cdot q\,dx_{J}\wedge dx_{L},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68ca828d8aedec965a88fb4dd5b5b00a9a7f6af)
等等,这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说,和的积就是所有可能的积的和。
现在,我们来定义光滑流形上的k-形式。为此,我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式;一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式,他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义,见流形。
楔积的性質
若f, g,w为任意微分形式,则
![{\displaystyle w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f173298dd2efbf5bc359f046f20fc132bb93950)
若f为k-形式,g为l-形式:
![{\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef4428a6ceec05ef5f47fc87a96605a2c5bacd1)
抽象(简明)定义及讨论
在微分几何中,k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂(cartesian power)到R的多线性映射。
例如,光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。
1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中,他们可以定义为向量的的实值函数,并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。
微分形式的积分
k阶微分形式可以在k维链(chain)上积分。若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ...对应于线积分,曲面积分,体积分等等。
设
![{\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3934d3a26103f21f39e7c389a1cf17183c00643f)
为一微分形式,设S为一个我们想在其上积分的集合,其中S有参数化形式
![{\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0046203bdcbad469fa207f35fd863119bb10ae4)
u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为
![{\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,d{\mathbf {u} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cf8e175df17952c3be2b0be67a1b47b0fedb67)
其中
![{\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1093b7480f13720d7c2f6f7b38391e1a8a5ccf6d)
是雅可比矩阵的行列式。
参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。
微分形式的操作
一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且,其上有三类操作:楔积, 外微分(用d表示),和李导数。d2 = 0,细节请见德拉姆上同调。
外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出,它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。
参考
- Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.