超越次數

在抽象代數中，一個域擴張 $L/K$ 的超越次數是 $L$ 中在 $K$ 上代數獨立子集的極大基數。

定義

域擴張 $L/K$ 的一組超越基是子集 $S\subset L$，使得 $S$ 在 $K$ 上代數獨立，而且 $L/K(S)$ 是代數擴張。可證明超越基存在，而任兩組超越基的基數皆相同，由此可定義超越次數為超越基底的基數。

例子

• 域擴張是代數擴張的充要條件是其超越次數為零。
• 有理函數域 $k(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 對 $k$ 的超越次數為 $n$。
• 對於代數簇的函數域，其超越次數等於代數簇的維度。
• $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ 的超越次數是連續統；另一方面，$\mathbb {C}$ 代數封閉，因此任何特徵為零的有限生成域都能嵌入 $\mathbb {C}$。

與向量空間維度的類比

域與向量空間有下述類比：代數獨立集對應到線性獨立集、超越基對應到基、超越次數對應到維度。證明基的基數唯一時，兩方面都用到基的「交換引理」。任意域上超越基的存在性依賴於選擇公理，向量空間的基底亦同。在模型論中，這兩者可以統一於預幾何的框架下。

性質

若 $L/K$、$M/L$ 為域擴張，則 $M/K$ 的超越次數為 $M/L$ 與 $L/K$ 的超越次數相加，此點可藉由取超越基的聯集證之。