User:Peterjiang/我的沙盒2

二刻尺 (希臘語 neuein)是一種幾何作圖的工具，在古希臘時期曾經和圓規、直尺一樣是在尺規作圖中合法的作圖工具。

構造

二刻尺與一般尺規作圖所用的尺不同，尺規作圖用的尺上不能有刻度，而二刻尺上有兩個刻度。

使用方法

在尺規作圖中，尺被視為可以畫無限長直線的工具，但只能用來將兩點連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來，還有以下用法，假設尺上的兩刻度距離為a，有兩條線l、m和點P，可以用二刻尺找到一條通過P的直線，使得此直線與l和m的交點距離為a。

如圖，有兩條線l、m和點P。可以將尺與點P對齊，並讓其中一個刻度保持在l（圖中黃點）上，慢慢轉動尺，直到另一個刻度碰到m（圖中藍點），此線即為所求（圖中深藍色線）。

幾何作圖

二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題，例如三等分角和正七邊形。

三等分角

已知角a，以B點為圓心，二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
角a的兩邊其中一邊交圓於A點，並畫另一邊的延長線。
將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到圓上，另一個移到角a一邊的延長線上，分別稱為C點和D點。
角b即為角a的三等分角。

正七邊形

以二刻尺刻度的間距畫正方形CDEF。
以E點為圓心，CE為半徑畫圓E。
做DE的中垂線。
將二刻尺固定在D點，並將兩刻度一個移到圓E上，另一個移到DE的中垂線上，分別稱為B點和A點。
做三角形ADE的外接圓O。
以二刻尺刻度的間距為半徑，畫出G、H、I、J四點。
D、E、G、H、A、I、J七點即為正七邊形。

倍立方

以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共線。
將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到CD的延長線上，另一個移到BC的延長線上，分別稱為G點和H點。
AG的長度就是二刻尺刻度的間距的 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 倍。

二刻尺的沒落

數學史學家T. L. Heath認為希臘數學家恩諾皮德斯^[1]（西元前440年左右）是第一個把圓規和直尺的地位提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的Hippocrates of Chios^[2]（西元前430年左右）。100年後歐幾里得在他的著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

西元前四世紀，受到柏拉圖的唯心主義影響，尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是：

只用圓和直線作圖（一般的尺規作圖）。
除了圓和直線，允許使用圓錐曲線作圖（橢圓、拋物線、雙曲線）。
使用其他方法作圖（例如：二刻尺、阿基米德螺線）。

二刻尺被放再第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題^[3]，因此二刻尺被當成解決問題的最終手段，這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成不正當的作圖工具。希臘數學家Pappus of Alexandria（西元前325年左右）認為：「這是一個不小的錯誤（a not inconsiderable error）」。

註解

^ 恩諾皮德斯是最早提出尺規作圖原則的人
^ Hippocrates of Chios是我們目前所知第一個將幾何作圖條理化的人
^ 直尺、圓規和圓錐曲線最多只能解決二次方程的題目，而二刻尺至少可以解決三次方程的題目

參見

外部連結

[1] 恩諾皮德斯是最早提出尺規作圖原則的人

[2] Hippocrates of Chios是我們目前所知第一個將幾何作圖條理化的人

[3] 直尺、圓規和圓錐曲線最多只能解決二次方程的題目，而二刻尺至少可以解決三次方程的題目

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