三等分角

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
尺规作图三大难题
三等分角
化圆为方
倍立方
三等分角无法按照尺规作图的规定作出,但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制,三等分角是可行的

三等分角古希臘平面几何尺規作圖领域中的著名问题,與化圓為方倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一,是对具体的直尺圆规画图可能性的抽象化,研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是:“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分?”

三等分角问题提出后,在漫长的两千余年中,曾有众多的尝试,但没有人能够给出严格的答案[1] 。随着十九世纪群论和域论的发展,法国数学家皮埃尔·汪策尔英语Pierre Wantzel首先利用伽罗瓦理论证明,這個問題的答案是否定的:不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说,汪策尔研究了给定单位长度後,能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数,而汪策尔证明了,如果能够三等分任意角度,那么就能做出不属于规矩数的长度,从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中,放宽限制或借助更多的工具的话,三等分任意角是可能的。然而,作为数学问题本身,由于三等分角问题表述简单,而证明困难,并用到了高等的数学方法,在已證明三等分角问题不可能之後后,仍然有许多人尝试给出肯定的证明。[1]

背景简介[编辑]

尺规作图法[编辑]

在叙述三等分问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是[1]

直尺:一侧为无穷长的直线,没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规:由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下,固定其中一个端点,让另一个端点移动,作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离,或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法[1]

  • 通過兩個已知點,作一直線。
  • 已知圓心和半徑,作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,确定其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,确定其交點。
  • 若兩已知圓相交,确定其交點。

尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”等等。[1]

问题叙述[编辑]

三等分角问题的完整叙述是[2]

任意给定一个角,是否能够通过以上说明的五种基本步骤,于有限次内作出另一个角,等于这个角的三分之一?

关于这个叙述中的用词和术语,需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义:一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合,也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义,用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AOOB构成的集合,也可以直接用一个希腊字母如α表示。两个角AOBA'O'B'相等,指的是以下条件:如果将线段OA沿点A延长为射线,在上面作一点C使得OC = O'A',同时将线段OB沿点B延长为射线,在上面作一点D使得OD = O'B',则CD = A'B'

一个角α等于另一个角β的三分之一,指的是角β等于角α的三倍。而一个角AOB等于角AOCk倍(k > 1为自然数),指的是可以找到点B1, B2, ... , Bk等,使得k个角AOB1, B1OB2, ... , Bk-1OBk都等于AOC,并且点Bk就是点B

二等分角问题[编辑]

尺规二等分任意角度的过程

与三等分角问题相比,用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤,也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪,随着群论和伽罗瓦理论的出现,数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中,更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道,尺规作图的方法不但不能三等分任意角,也不能将任意角五等分、七等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的證明[编辑]

1837年,法國數學家汪策爾證明了,三等分角問題是沒有辦法完成的[3]:15

三等分角的反证[编辑]

上文已经说明,任何可以用尺規作圖作出的点,其座標对应一个复規矩數,它的最小多項式次數為2^{s}。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分,代表對任意角度是\theta的角,均可以由尺規作圖得到 角度为\frac{\theta}{3}的角。这等价于说在已知单位长度和\cos{\theta}的时候能做出\cos{\frac{\theta}{3}}的长度。设L是包含了\cos{\theta}和单位长度1的域。用尺规作图可以得到z = \cos{\frac{\theta}{3}},说明域扩张的阶数是2的幂次:

[ \mathrm{L}(z) : \mathrm{L} ] = 2^s

然而根據三倍角公式:

\cos \theta = 4 \cos^3 {\frac{\theta}{3}} -3 \cos {\frac{\theta}{3}} = 4z^3 - 3z.

运用多项式的知识可以证明,zL中的最小多项式的阶数必定不大于3,也就是说是1,2或者3[4]:512。比如说当角度\theta = 60^\circ时,L就是\mathbb{Q}\cos{\theta}=\frac12 \in \mathbb{Q})三倍角公式变成:

4 z^3 - 3 z = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2},即是:
8 z^3 - 6 z - 1 = 0

这个多项式不可约,所以这个方程的解不属于有理数集\mathbb{Q},所以可以证明[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}] = 3.[1]然而3不是2的幂次,这和之前的结论矛盾。如此便说明,無法用尺規作圖將任意角三等分[4]:525-526\Box

能够尺规三等分的角度[编辑]

以上的证明通过一个反例:\theta = 60^\circ说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角(比如说直角)仍然是可行的[1]。事实上,从证明中可以看出,尺规三等分某个角\theta等价于说[ \mathrm{L}(\cos{\frac{\theta}{3}}) : \mathrm{L} ] = 1[5]:58。要注意的是,这个条件与\cos{\theta}本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上,有的角度\theta即便本身无法用尺规作图法作出,但如果已知角\theta作为条件,是能够用尺规作图将它三等分的。角度3\pi/7就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出,但如果给定一个3\pi/7的角,它的五倍角就是15\pi/7,等于将圆周绕过一圈後的\pi/7,这正是3\pi/7的三分之一。可以证明,角度2\pi/N可以用尺规三等分,当且仅当自然数N本身无法被三整除。

从证明中还可看出,只要自然数k只含有2以外的因子,根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明\cos{\frac{\theta}{k}}的最小多项式阶数整除k,所以不是2的幂次,从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的。

三等分角的方法[编辑]

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制,或允许使用另外的工具,那么三等分任意角仍旧是可能的。

无限次步骤[编辑]

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话,可以利用

\frac13 = \frac14 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots

这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为\theta的角。已知尺规二等分角是可行的,所以重复两次就能够四等分一个角\theta,得到\frac{\theta}{4}。同样地,可以作出\frac{\theta}{4^2}\frac{\theta}{4^3}等所有形同\frac{\theta}{4^n}的角。将它们逐次相加,就能够在无限次(可数次)操作後用尺规作图得到

\frac{\theta}{4} + \frac{\theta}{4^2} +\frac{\theta}{4^3} + \cdots = \frac{\theta}{3}.[1]

二刻尺[编辑]

Three facts for trisecting angles.svg
把角a三等分

如果允许使用有刻度的直尺(二刻尺),则三等分任意角是可行的。右图为把角a三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出[3]:4

首先,在直尺上有两个刻度,相距AB。把角上的直线延长,并作一个半径AB的圆。

把直尺的一点固定在A,并将直尺绕着点A移动,直到其中一个刻度位于点C,另一个刻度位于点D,也就是说,CD = AB。这时,角b就是角a的三分之一。

要證明 a = 3b ,我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line),三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明:

  1.  e + c = 180^\circ
  2.  e + 2b = 180^\circ
  3. 两式相减,得 c = 2b
  4.  d + 2c = 180^\circ,因此 d = 180^\circ - 2c ,把上式代入,得 d = 180^\circ - 4b
  5.  a + d + b = 180^\circ,因此 a + (180^\circ - 4b) + b = 180^\circ

所以, a - 3b = 0 ,或 a = 3b 。证毕。[1][3]:4-5

或者,可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

b + b = c

b + c = a

\Rightarrow{ b} + 2b = a

\Rightarrow {a} = 3b

同樣也可證明。

借助其他形状或工具[编辑]

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派,他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上,如果允许在作图中使用其他的曲线或形状,那么三等分任意角是可行的。例如:已知角AOB,做其角平分线OC。以直线OC为准线,点A为焦点,作一双曲线;同时以O为圆心,OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D,那么角AOD等于角AOB的三分之一。[1]此外,麦克劳林利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线(等角螺线)也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中,阿基米德螺线的方程是:

\rho = c \theta

其中的\rho是极径(离原点的距离),\theta是幅角。由于极径和幅角成正比,所以要寻找等于给定角度三分之一的角度,只需要确定原角度对应的极径长度\rho_0,然后对比找出\frac{\rho_0}{3}对应的角度即可。[3]:8

相關條目[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. 
  2. ^ 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Underwood Dudley. The trisectors. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780883855140 (英文). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Warner. Modern algebra. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 (英文). 
  5. ^ Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 (英文). 

外部链接[编辑]