User:Schenad/克莱因佯谬

克莱因佯谬（英語：Klein paradox），或称克莱因隧穿，是物理学家奥斯卡·克莱因^[1]于1929年在应用狄拉克方程计算有限位势垒的电子散射问题时获得的意外结论。在非相对论性量子力学中，电子在位势垒散射的结果即为量子隧穿效应，量子幅呈指数衰变。然而根据相对论性量子力学计算的结果，克莱因发现，当势垒在一个电子质量左右时，即 $V\sim mc^{2}$ ，此势垒对于电子来说基本成为透明的，或者说电子大部分能够透射通过势垒。另外，当势垒趋向于无穷时，电子基本就没有被反射的现象了，大多都会透射通过势垒。

1920年代物理学界的主流认为，原子核是由质子和“核内电子”所构成的，即卢瑟福提出的质子-电子模型。此佯谬揭示了量子力学不允许核内电子存在的事实^[2]，在当时引起了极大的争议。

无质量粒子

考虑一无质量相对论性粒子通过一高度为 $V_{0}$ 的位势垒的概率。假设该粒子的能量 $E_{0}<V_{0}$ ，动量为 $p$ 。

粒子的波函数 $\psi$ 遵守不含时狄拉克方程：

\left(\sigma _{x}p+V\right)\psi =E_{0}\psi ,\quad V={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x>0\end{cases}},

其中 $\sigma _{x}$ 为泡利矩阵：

\sigma _{x}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)

若假设粒子从左往右传播，则可获得两个波函数解——其中一个表示在区域I还未进入位势垒的波函数；另一个表示在区域II位势垒内的波函数：

\psi _{1}=Ae^{ipx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right)+A'e^{-ipx}\left({\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right),\quad p=E_{0}\,

\psi _{2}=Be^{ikx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right),\quad \left|k\right|=V_{0}-E_{0}\,

其中的系数 $A$ 、 $A'$ 和 $B$ 均为复数。

入射的波函数与透射的波函数与正的群速度相关（右图中蓝线），而反射的波函数与负的群速度相关（右图中绿线）。

入射系数与反射系数 $T,R.$ 可以通过機率流推导。与狄拉克方程相关的概率流被定义如下：

J_{i}=\psi _{i}^{\dagger }\sigma _{x}\psi _{i},\ i=1,2\,

在这里，

J_{1}=2\left[\left|A\right|^{2}-\left|A'\right|^{2}\right],\quad J_{2}=2\left|B\right|^{2}\,

则

R={\frac {\left|A'\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}},\quad T={\frac {\left|B\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}}\,

波函数在 $x=0$ 的连续性使得 $\left|A\right|^{2}=\left|B\right|^{2}\,$ ， $\left|A'\right|^{2}=0\,$ 。所以透射系数为1，即没有反射发生。

具质量粒子

对于具质量粒子

其他情形

参考资料

^ Klein, O. Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac. Zeitschrift für Physik. 1929, 53 (3–4): 157. Bibcode:1929ZPhy...53..157K. doi:10.1007/BF01339716.
^ Stuewer, Roger H. French, A. P.; Kennedy, P. J. , 编. Niels Bohr and Nuclear Physics. Harvard University Press. 1985: 197–220. ISBN 0674624165.

无质量粒子

具质量粒子

其他情形

参考资料

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