σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间
來說,若测度
其對任意
的取值
是一个有限的实数(而不是无穷大),那么就称这个测度为有限测度。若有限測度的母集合
可表示为
的某可測集合序列
的并集:
![{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3312d7450f6c1d7a8131caedb74c97a12668fa8e)
則么就称这个测度为σ-有限测度[1]:24。進一步的,如果
的某个子集能够表示为
之中的某可測集合序列的并集,那么也称这个子集拥有σ-有限测度。
- 勒贝格测度:实数集
上的勒贝格测度不是有限测度,因为整个实数轴的“长度”,也就是全集
的测度是无穷大。但是,勒贝格测度是σ-有限测度,因为
可以表示为所有形如
的区间的并集,而每个区间的测度都是有限的(等于
):
[1]:24
- 计数测度:实数集
上的计数测度,是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度:含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大[2]:20-21。这个测度不是σ-有限测度,因为实数集是不可数的,它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集[2]:30。不过,自然数集
上的计数测度就是σ-有限测度[2]:29,因为全集
可以(很自然地)表示成可数个测度为1的子集的并集:
![{\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179615f4833432ca60fdfce572381b0a77ad28bf)
- 局部紧群:设
是一个局部紧的拓扑群,并且是σ-紧致的,那么群
上的哈尔测度是σ-有限测度[3]:42。
σ-有限测度中,全集可以表示为
中的可数个有限测度子集的并集:
,但实际上表示的方法可以不止一种。比如说,令
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5420f58e67a627cae5a20daa420b8225822838bb)
那么
,也就是说
也是一系列有限测度的子集,并且
,所以
。随着下标增大,
的测度越来越大,趋向正无穷大,并且
。这称为全集的升序表示。而如果令:
,
那么
也是一系列测度有限,并且两两不相交的集合(交集为空集),并且
。
被称为全集的一个划分,或者称为全集的不交覆盖。
与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集
能够表示为
中的可数个有限测度子集的并集:
,而且要求存在一个正实数
,使得这些子集的测度(的绝对值)都小于等于
。
![{\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156755c1292c9b850bb1c670474f445fcb7d9c8)
勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度
:
![{\displaystyle \forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2526e22fed0da9d0e47549051fc71225c869b3)
就不是一致σ-有限测度[2]:30。
半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果
上的一个测度中,任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集,那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度,只要考虑它的升序表示,但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度,但它并不是σ-有限测度[2]:30。
给定
,其上的任何σ-有限测度
都等价于一个
的概率测度。具体的构造方法是:令
为全集
的一个不交覆盖(划分),并且每个
在
下的测度都是有限的;再令
为一个由正实数构成的数列,并且级数和
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871fe76ad86e996b97248331c9c62852206dac97)
那么以下方式定义的测度
:
![{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c05482070af3af92a3b6e88208513cb87e078c6)
就是一个与
等价的概率测度,因为两者有着相同的零测集。