σ-有限測度是測度論中的一個概念。對測度空間
來說,若測度
其對任意
的取值
是一個有限的實數(而不是無窮大),那麼就稱這個測度為有限測度。若有限測度的母集合
可表示為
的某可測集合序列
的併集:
![{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3312d7450f6c1d7a8131caedb74c97a12668fa8e)
則麼就稱這個測度為σ-有限測度[1]:24。進一步的,如果
的某個子集能夠表示為
之中的某可測集合序列的併集,那麼也稱這個子集擁有σ-有限測度。
- 勒貝格測度:實數集
上的勒貝格測度不是有限測度,因為整個實數軸的「長度」,也就是全集
的測度是無窮大。但是,勒貝格測度是σ-有限測度,因為
可以表示為所有形如
的區間的併集,而每個區間的測度都是有限的(等於
):
[1]:24
- 計數測度:實數集
上的計數測度,是將任何的子集的元素「個數」作為測度值的測度:含有無窮多個元素的子集的測度就是無窮大[2]:20-21。這個測度不是σ-有限測度,因為實數集是不可數的,它不能表示成可數個只包含有限個元素的子集的併集[2]:30。不過,自然數集
上的計數測度就是σ-有限測度[2]:29,因為全集
可以(很自然地)表示成可數個測度為1的子集的併集:
![{\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179615f4833432ca60fdfce572381b0a77ad28bf)
- 局部緊群:設
是一個局部緊的拓撲群,並且是σ-緊緻的,那麼群
上的哈爾測度是σ-有限測度[3]:42。
σ-有限測度中,全集可以表示為
中的可數個有限測度子集的併集:
,但實際上表示的方法可以不止一種。比如說,令
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5420f58e67a627cae5a20daa420b8225822838bb)
那麼
,也就是說
也是一系列有限測度的子集,並且
,所以
。隨著下標增大,
的測度越來越大,趨向正無窮大,並且
。這稱為全集的升序表示。而如果令:
,
那麼
也是一系列測度有限,並且兩兩不相交的集合(交集為空集),並且
。
被稱為全集的一個劃分,或者稱為全集的不交覆蓋。
與σ-有限測度的概念相關的概念還有半有限測度和一致σ-有限測度。一致σ-有限測度是一類特殊的σ-有限測度。它不僅要求全集
能夠表示為
中的可數個有限測度子集的併集:
,而且要求存在一個正實數
,使得這些子集的測度(的絕對值)都小於等於
。
![{\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156755c1292c9b850bb1c670474f445fcb7d9c8)
勒貝格測度和自然數集上的計數測度都是一致σ-有限測度。但並非所有的σ-有限測度都是一致σ-有限測度。比如說自然數集上如下定義的σ-有限測度
:
![{\displaystyle \forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2526e22fed0da9d0e47549051fc71225c869b3)
就不是一致σ-有限測度[2]:30。
半有限測度則是比σ-有限測度更寬泛的一種定義。如果
上的一個測度中,任意一個測度為無窮大的子集都包含有測度為任意大有限值的子集,那麼就說這個測度是半有限測度。任何的σ-有限測度都是半有限測度,只要考慮它的升序表示,但反之則不然。比如說實數集上的計數測度就是半有限測度,但它並不是σ-有限測度[2]:30。
給定
,其上的任何σ-有限測度
都等價於一個
的概率測度。具體的構造方法是:令
為全集
的一個不交覆蓋(劃分),並且每個
在
下的測度都是有限的;再令
為一個由正實數構成的數列,並且級數和
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871fe76ad86e996b97248331c9c62852206dac97)
那麼以下方式定義的測度
:
![{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c05482070af3af92a3b6e88208513cb87e078c6)
就是一個與
等價的概率測度,因為兩者有著相同的零測集。